二次試験展望

国公立の二次試験

もうすぐ国公立大学の二次試験が始まります。万全の対策をとった方、少し不安が残る方も、最後までトレーニングをしていただきたいと思っています。

【問題1】

4次方程式　\(x^4－x^2+1＝0\)　の解の一つを　\(a\)　とします。このとき以下のことを証明してください。
（1）\(a^6+1＝0\)　\(a^{12}+1＝0\)
（2）\(a^4≠1、a^9≠1\)
（3）一般に、\(r\)　が　\(1から11\)　までの自然数のどれであっても、\(a^ｒ≠1\)　となります。
これを用いて、\(a^n＝1　(nは自然数）\)　ならば、\(nは12\)　で割り切れることを証明してください。

【問題2】

\(a\)　を実数の定数としま
\(x\)　の関数　\(f(x)＝tan(a/2)・sinｘ・cos(x+2a)+cos(a/2)・cosx・sin(x+a/2)\)　
の最大値　\(M\)　を　\(a\)で表してください。また、M＝1になるときの　\(a\)　の値を、\(0<a＜2π\)
の範囲で求めてください。

【問題3】

\(0から9\)までの整数を書いたカードがそれぞれ　\(4\)　枚、全部で　\(40\)　枚あります。
これらのカードから、でたらめに　\(5\)　枚とるとき、同じ数のカードが　\(3\)　枚と
他の同じカードが　\(2\)　枚である確率を求めてください。

【問題4】

\(S_n=\displaystyle \int_{-π}^{π}(\displaystyle \sum_{k=1}^n kcosx)^2dx\)　とします。
（１）\(S_n\)　の値を求めてください。
（２）\(\displaystyle \lim_{ n \to \infty } S_n/ｎ^3\)　を求めてください。

【問題5】

\(△ABCと△DEF\)　において　\(AB=DE\)とし、それぞれの外接円の半径と内接円の半径がともに
等しいとします。このとき、二つの三角形は合同になるかどうか、理由をつけて説明してください。