二次試験展望

国公立の二次試験

もうすぐ国公立大学の二次試験が始まります。万全の対策をとった方、少し不安が残る方も、最後までトレーニングをしていただきたいと思っています。

【問題1】

4次方程式　$x^4－x^2+1＝0$　の解の一つを　$a$　とします。このとき以下のことを証明してください。
（1）$a^6+1＝0$　$a^{12}+1＝0$
（2）$a^4≠1、a^9≠1$
（3）一般に、$r$　が　$1から11$　までの自然数のどれであっても、$a^ｒ≠1$　となります。
これを用いて、$a^n＝1　(nは自然数）$　ならば、$nは12$　で割り切れることを証明してください。

【問題2】

$a$　を実数の定数としま
$x$　の関数　$f(x)＝tan(a/2)・sinｘ・cos(x+2a)+cos(a/2)・cosx・sin(x+a/2)$　
の最大値　$M$　を　$a$で表してください。また、M＝1になるときの　$a$　の値を、$0<a＜2π$
の範囲で求めてください。

【問題3】

$0から9$までの整数を書いたカードがそれぞれ　$4$　枚、全部で　$40$　枚あります。
これらのカードから、でたらめに　$5$　枚とるとき、同じ数のカードが　$3$　枚と
他の同じカードが　$2$　枚である確率を求めてください。

【問題4】

$S_n=\displaystyle \int_{-π}^{π}(\displaystyle \sum_{k=1}^n kcosx)^2dx$　とします。
（１）$S_n$　の値を求めてください。
（２）$\displaystyle \lim_{ n \to \infty } S_n/ｎ^3$　を求めてください。

【問題5】

$△ABCと△DEF$　において　$AB=DE$とし、それぞれの外接円の半径と内接円の半径がともに
等しいとします。このとき、二つの三角形は合同になるかどうか、理由をつけて説明してください。