二次試験展望
国公立の二次試験
もうすぐ国公立大学の二次試験が始まります。万全の対策をとった方、少し不安が残る方も、最後までトレーニングをしていただきたいと思っています。
【問題1】
4次方程式 x^4-x^2+1=0 の解の一つを a とします。このとき以下のことを証明してください。
(1)a^6+1=0 a^{12}+1=0
(2)a^4≠1、a^9≠1
(3)一般に、r が 1から11 までの自然数のどれであっても、a^r≠1 となります。
これを用いて、a^n=1 (nは自然数) ならば、nは12 で割り切れることを証明してください。
【問題2】
a を実数の定数としま
x の関数 f(x)=tan(a/2)・sinx・cos(x+2a)+cos(a/2)・cosx・sin(x+a/2)
の最大値 M を aで表してください。また、M=1になるときの a の値を、0<a<2π
の範囲で求めてください。
【問題3】
0から9までの整数を書いたカードがそれぞれ 4 枚、全部で 40 枚あります。
これらのカードから、でたらめに 5 枚とるとき、同じ数のカードが 3 枚と
他の同じカードが 2 枚である確率を求めてください。
【問題4】
S_n=\displaystyle \int_{-π}^{π}(\displaystyle \sum_{k=1}^n kcosx)^2dx とします。
(1)S_n の値を求めてください。
(2)\displaystyle \lim_{ n \to \infty } S_n/n^3 を求めてください。
【問題5】
△ABCと△DEF において AB=DEとし、それぞれの外接円の半径と内接円の半径がともに
等しいとします。このとき、二つの三角形は合同になるかどうか、理由をつけて説明してください。