不等式の問題－解答編－

難関大の不等式の問題

不等式のやや難しい問題、計算の面倒な問題です。すこし考えれば、素早く解答がでてくる問題もありますが、条件式の複雑な問題は、場合わけなどを正確にやって、正しい解答を導く必要があります。問題のリンクは次です。難関大の不等式の問題

難関大の不等式の問題の解答

【問題１】

\(a>0\)とします。不等式\(lx－al＜b\)を満たす全ての実数\(x\)に対して、\(lx^2－a^2l＜1/2\)が成立するとき、正の数\(b\)はどのような範囲の数か、\(a\)を用いてあらわしてください。(九州工大)

【解答１】

条件式から、\(ａ^2－1/2＜ｘ^2＜ａ^2+1/2\)････････①
\(ａ－ｂ＜ｘ＜ａ＋ｂ\)･･･････････②
②を満たす\(x\)の範囲が、①をを満たす範囲に含まれる条件を求めればよいことになります。
1)\(ａ^2－1/2＞≧0\)なら、①は\(x=0\)を含まないから条件を満たすためには、
\(ａ－ｂ≧0\)で　\(ａ^2－1/2≦(ａ－ｂ)^2＜(ａ+b)^2≦ａ^2＋1/2\)･････③
③より、\(ｂ≦ａ－\sqrt{ａ^2－1/2}\)かつ
\(－ａ－\sqrt{a^2+1/2}≦ｂ≦－ａ+\sqrt{a^2+1/2}\)
従って、\(0＜ｂ≦－ａ－\sqrt{a^2+1/2}\)･････････④
2)\(ａ^2－1/2＜0\)ならば、\((a+b)^2≦ａ^2+1/2\)　となり、④となります。
よｔって、求める条件は、\(0＜ｂ≦－ａ－\sqrt{a^2+1/2}\)です。

【問題2】

不等式　\(log(4y－x^2－y^2)≦log(4y－2x+a)\)を満たす\(xy平面上\)の\((x,y)\)が存在するような定数\(a\)の値の範囲を求めてください。(筑波大）

【解答２】

真数条件より\(4y－x^2－y^2>0\)･･････････①かつ条件式より
\(4y－2x+a≧4y－ｘ^2－y^2\)････････②
①より、\((x^2+(y－2)^2<0\)････････③
②より、\((x－1)^2+ｙ^2≧1－a\)････････④
③と④の領域に共通な点が存在するような\(a\)の範囲を求めればよいことになります。
1)\(a＜1\)のときは、\(\sqrt{1-a}<\sqrt{5}+2\)から、\(－8－4\sqrt{5}<a＜1\)
2)\(a≧1\)のときは③を満たす(x,y)は、全て④をみたします。
よって、求める\(aは、－8－4\sqrt{5}<a\)となります。

【問題３】

実数\(x\)に対して,\(n≦x<n+1\)を満たす整数\(n\)を\([x]\)であらわすものとします。\(4[x]^2－36[x]+45＜0\)を満たす\(x\)の範囲を求めてください。
（一橋大）

【解答3】

\([x]＝n\)とおくと、与えられた不等式は、\(4n^2－36n＋45＜0\)となりますから、
\((2n－3)(2n－15)＜0\)から、\(3/2＜n＜15/2\)より、\(n=2,3,4,5,6,7\)です。
よって、\(２≦ｘ＜8\)