三角関数－解答編－

三角関数の問題

【問題1】

\(0≦θ≦π/2\)　のとき、\(\sqrt{sinθ}+\sqrt{cosθ}\)の最小値と最大値を求めてください。

【解答1】

\(x=\sqrt{cosθ}、ｙ＝\sqrt{sinθ}\)とおくと、
\(x^4+y^4＝1\)　　\(0≦x,y≦1\)　･･････①
また、\(u=x+y、v=u-v\)とおけば、\(x=(u+v)/2、y=(u-v)/2\)･･････②
これを①に代入すると、
\(u^4+6u^2v^2+v^4＝8\)
さらに、\(-u≦v≦u\)から、\(0≦v^2≦u^2\)
よって、\(u^4≦u^4+6u^2v^2+v^4≦u^4+6u^2u^2+u^4\)から、
\(u^4≦8≦8u^4\)となります。
よって、\(1≦u≦\sqrt[4]{8}\)から、最小値\(1\)　最大値\(\sqrt[4]{8}\)

【問題2】

\(0≦x<2π、0≦y＜2π\)　\(a は整数\)とするとき、
\(sinx+cosy＝\sqrt{3}、cosx+siny＝a\)　を満たす\(x,y\)を求めてください。

【解答2】

与えられた式から、\(y\)を消去すると、
\(1＝(\sqrt{3}-sinx)^2+(a-cosx)^2\)から、
\(\sqrt{3}sinx+acosx＝(a^2+1)/2\)
よって、合成より\(sin(x+α)=\sqrt{a^2+3}/2\)･･････①
ここで、\(cosα＝\sqrt{3}/(a^2+3)、sinα＝a/\sqrt{a^2+3}\)
①より\(0<\sqrt{a^2+3}/2≦1\)で　\(a整数\)より、\(a=0,±1\)
(1)　\(a=0\)のとき　\(x,y)＝(π/3,11π/6）、(2π/3,π/6)\)
(2)　\(a=±1\)のとき、\(x.y)＝(π/,π/6),(2π/3,11π/6)\)