三角比の値－どんな解法を考えますか、解答編－

三角比の問題の解答

sin18°、cos18°の特殊角の問題とその関連融合問題を出題しました。そこ解答を書いておきますから、参考にしてください。

【問題１】の解答

α＝１８°とします。sin18°とcos18°の値を、二通り以上の方法で解いてください。

結構有名な問題のように思いますが、解答が1通りでは、この問題の趣旨に合わないことになります。別解を少なくとも1つ以上考えていただくのが、この問題です。

【解答】

α＝18°とすると、５α＝90°(=π/2）となります。従って、２α+３α=π/2となります。よって、π/2-3･α=2α　ですから、これのsinをとると、　　　sin2α=sin(π/2-3α）････････①　となります。①より、sin2α=cos3αとなりますから、\(2sinα･cosα＝3cosα-4cos^3α\)･･･････②　　②をcosα＞0でわって整理すると、\(4cos^2α-2sinα-3=0\) から、\(4sin^2α+2sinα-1＝0\)････③となりますから、sinα＞0を考慮して、sinα＝(√5－1)/4となります。\(cosα＝√(1-sin^{2})\)から求まります。

【別解】

初等幾何学で解きましょう。底辺が72°の２等辺３角形ABCを考えます。AB上にDをとりBC=１とし、BD＝DC=1ととります。△ABC∽△CDBとなりますから、BD=ｘとおくと、（1+x)/1＝1/x　となり、これから、\(x^2+ｘ-1=0\)となり、ｘ＝(√5－１)/2　となります。よってsin18°=(√5-1)/4となります。cos18°は、sin18°から求まります。

【類題２】の解答

\(ａ＝sin^{2}３６°、ｂ＝sin^{2}７２°\) とおきます。このとき以下のことを示してください。

（１）ａ+ｂ、abは有理数である。

（２）任意の自然数ｎに対して、

　　\(（ａ^{-n}+ｂ^{-n}）(ａ+ｂ)^{n} \) 　は整数である。（東大改）

 

【解答２】
東大の元の問題は、ラジアンで提示してあり３６°＝π/5、７２°＝2π/5となっています。度数法で考えやすくしてみました。

（１）問題１と同じように、θ＝２π/5＝７２°とおきます。そうしますと、　\(ａ＝sin^2θ/2＝(1-cosθ)/2\)、\(ｂ＝1-cos^2θ)\)･･･････①

ここで、５θ＝360°(＝2π）ですから、３θ＝360°-２θとなりますから、これのsinをとれば、sin3θ＝－sin2θ　となりますから、これを整理すると、\(4cos^2+2cosθ-1=0\)です。cosθ＞0ですから、cosθ＝(√5－１)/4･･･②　よって、②をａ、ｂに代入すると、a=(5-√5)/8、b=(5+√5)/8となりますから、ａ＋ｂ＝5/4、ａｂ＝5/16　となりますから、題意はなりたちます。

（２）（１）の結果を用いると、\(（ａ^{-n}+ｂ^{-n}）(ａ+ｂ)^{n} \) =\((a^{n}+ｂ^{n})((a+b)/ab)^n＝(4a)^n+(4b)^n\)　(n=1,2,3･････）となります。従って、A=4a、B=４Bとおけば、\(A^n+B^n\)（n=1,2,3････）が整数である事を示せばいいことになります。

あとは、\(A^n+B^n\)（n=1,2,3････）が整数である事･････(*）を数学的帰納法で証明すればいい事は容易に考えつきます。

ⅰ)　n=1、2のとき容易に成り立つことがわかります。

ⅱ)　n=k、k+1で（*)が成り立つと仮定すると、

\(A^k+B^k＝M（整数）\)

\(A^{k+1}+B^{k+1}＝N（整数）\)とおくことができます。

このもとで、n=ｋ+2を考えれば、\(A^{k+2}+B^{k+2}\)=\((A+B)(A^{k+1}+B^{k+1})\)－\(AB(A^{k}+B^{k})\)=5N-5M=整数です。

従って、数学的帰納法により、\(（ａ^{-n}+ｂ^{-n}）(ａ+ｂ)^{n} \) は全ての自然数で整数となります。（Q.E.D)

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