一日一題-その4-解答編

あと2日でいよいよ2次試験です。引き続き軽い問題演習をやってみましょう。解答を示しておきます。

【問題】

\(0<a<1\)　とします。\(3\)　辺の長さが、\(\sqrt{3},a,b\)　である鋭角三角形の外接三角形の半径が　\(1\)　であるとき、\(b\)　を　\(a\)　で表してください。
（京都大学）

【解答】

円　半径　\(1\)　の　\(O\)　に外接する三角形\(ABC\)　を考え　\(AB=\sqrt{3}、BC＝a、CA＝b\)　とし、
\(∠A＝α、∠B＝β、∠C＝γ\)　とすると、\(α+β+γ＝π\)　で正弦定理より
\(a/\sin α＝b/\sin β=\sqrt{3}/\sin γ =2\)
よって、\(a=2\sin α\)
　　　　\(b=2\sin β\)
　　　　\(\sin γ＝\sqrt{3}/2\)
　　\(γ＝π/3\)　がわかるから、
\(ｂ＝2\sin (π－α－γ）＝2\sin (α+γ)＝\sin α+\sqrt{3}\cos α\)
よって、\(ｂ＝a/2+\sqrt{12－3a^2}/2\)