一日一題-その2 解答編-
軽い2次試験用問題演習です。
【問題】
直線 y=x と 放物線 y=x^2-x によって囲まれる部分を y=x のまわりに
回転してできる立体の体積を求めてください。
【解答】
y=x のまわりに回転するのですから、座標軸を回転して考えましょう。
o-xy 座標の (x,y) とこれを 45° 回転した座標軸 O-XY の間には
x=(X-Y)/\sqrt{2}、y=(X+Y)/ \sqrt{2} よって y=x^-x は、O-XY 座標では、
2^{3/2}X=(X-Y)^2
よって、Y=X-2^{3/4}\sqrt{X} 0≦X≦2^{3/2}
求める体積は、
π\displaystyle \int_{0}^{2\sqrt{2}} Y^2dX=8\sqrt{2}π/15
一般に、O-xy 座標を θ 回転した時の O-XY 座標の間には
X=\cos θ・x-\sin θ・y、Y= \sin θ・x-\cos θ・y
の関係があります。
行列で書くと、
\left( \begin{array}{c} x \\ y \\ \end{array} \right) =\begin{pmatrix} \cos θ & -\sin θ \\ \sin θ & \cos θ \\ \end{pmatrix} \left( \begin{array}{c} X \\ Y \\ \end{array} \right)
となります。