一日一題-その2 解答編-

軽い2次試験用問題演習です。

【問題】

直線　\(y=x\)　と　放物線　\(y=x^2－x\)　によって囲まれる部分を　\(y=x\)　のまわりに
回転してできる立体の体積を求めてください。

【解答】

\(y=x\)　のまわりに回転するのですから、座標軸を回転して考えましょう。

\(o-xy\)　座標の　\((x,y)\)　とこれを　\(45°\)　回転した座標軸　\(O-XY\)　の間には
\(ｘ＝(X-Y)/\sqrt{2}、y＝(X+Y)/ \sqrt{2} \)　よって　\(y=x^－x\)　は、\(O-XY\)　座標では、
　　\(2^{3/2}X＝(X－Y)^2\)　
よって、\(Y＝X－2^{3/4}\sqrt{X}\)　\(0≦X≦2^{3/2}\)
求める体積は、
\(π\displaystyle \int_{0}^{2\sqrt{2}} Y^2dX＝8\sqrt{2}π/15\)

一般に、\(O-xy\)　座標を　\(θ\)　回転した時の　\(O-XY\)　座標の間には
\(X＝\cos θ・ｘ－\sin θ・ｙ、Ｙ＝ \sin θ・ｘ－\cos θ・ｙ\)
の関係があります。

行列で書くと、

\(\left(
\begin{array}{c}
x \\
y \\
\end{array}
\right)\) ＝\(\begin{pmatrix}
\cos θ & -\sin θ \\
\sin θ &　\cos θ \\
\end{pmatrix}\) \(\left(
\begin{array}{c}
X \\
Y \\
\end{array}
\right)\)

となります。