一日一題-その2 解答編-

軽い2次試験用問題演習です。

【問題】

直線　$y=x$　と　放物線　$y=x^2－x$　によって囲まれる部分を　$y=x$　のまわりに
回転してできる立体の体積を求めてください。

【解答】

$y=x$　のまわりに回転するのですから、座標軸を回転して考えましょう。

$o-xy$　座標の　$(x,y)$　とこれを　$45°$　回転した座標軸　$O-XY$　の間には
$ｘ＝(X-Y)/\sqrt{2}、y＝(X+Y)/ \sqrt{2}$　よって　$y=x^－x$　は、$O-XY$　座標では、
　　$2^{3/2}X＝(X－Y)^2$　
よって、$Y＝X－2^{3/4}\sqrt{X}$　$0≦X≦2^{3/2}$
求める体積は、
$π\displaystyle \int_{0}^{2\sqrt{2}} Y^2dX＝8\sqrt{2}π/15$

一般に、$O-xy$　座標を　$θ$　回転した時の　$O-XY$　座標の間には
$X＝\cos θ・ｘ－\sin θ・ｙ、Ｙ＝ \sin θ・ｘ－\cos θ・ｙ$
の関係があります。

行列で書くと、

$\left( \begin{array}{c} x \\ y \\ \end{array} \right)$ ＝$\begin{pmatrix} \cos θ & -\sin θ \\ \sin θ &　\cos θ \\ \end{pmatrix}$ $\left( \begin{array}{c} X \\ Y \\ \end{array} \right)$

となります。