一日一問－解答編－

一日一問限定で演習をやってみましょう。


【問題】

次の問いに答えてください。
（1）$0＜θ＜π/2$　とします。このとき、$\cos θ$　は有理数ではないが、
　$\cos 2θ、\cos 3θ$　がともに有理数になるような　$θ$　の値を求めてください。
　ただし、$p$　が素数のとき、$\sqrt{p}$　は有理数でない事は、使っていいものとします。
（2） 次の積分を求めてください。
　　　 (a)　$\displaystyle \int_{0}^{π/2} ｘ/ \cos^2 x\ dx$　　　　(b)　$\displaystyle \int_{0}^{π/2} 1/ \cos x\ dx$
（京都大学）

【解答】

こういう問題は、背理法によるのでしょう。

（1）$\cos θ$　が無理数とし、 $\cos 2θ、\cos 3θ$ が有理数とします。
　　$\cos 2θ ＝2 \cos^2 θ－1$　より $2 \cos^2 θ－1 ＝t$　(有理数）　とおけば
　　$\cos 3θ ＝4 \cos^3 θ －3 \cos θ\ ＝(－1+2r) \cos θ$
　　ここで、$-1+2r≠0$　なら、有理数＝無理数　となり矛盾。
　　よって、$ｒ＝1/2$　従って　$cos^2 θ ＝3/4$　から　$θ＝π/6$
　　このとき、 $\cos θ ＝\sqrt{3}/2＝無理数、 \cos 2θ ＝1/2＝有理数、\cos 3θ＝0＝有理数$
　　だから題意に適す。答え：$θ=π/6$

(2)　部分積分より、
　　 $\displaystyle \int_{0}^{π/2} ｘ/ \cos^2 x\ dx＝π/4－1/2・\log 2$

　　$1/ \cos x= \cos x /(1+\sin x)(1－\sin x)$
　　　＝$1/2・(\cosｘ/(1+\sin x)+\cos x/(1－\sin x))$
　から、同様に部分積分を行うと、
　　 $\displaystyle \int_{0}^{π/2} 1/ \cos x\ dx$
　　＝$1/2･\displaystyle \int_{0}^{π/2}((1+\sin x)’/ (1+\sin x )－(1－\sin x )’/(1－\sin x) dx )$
　　＝$1/2･\log (\sqrt{2}+1)/(\sqrt{2}－１)$
　　＝$\log (\sqrt{2}+1)$