ロピタルの定理－不定形の極限値を求める方法－

ロピタルの定理

極限値を求める時に、０／０となって、極限値が求められない場合があります。このようなときに、役にたつのが、ロピタルの定理です。ロピタルの定理とは、２つの関数f(x)、g(x)が開区間（ａ､ｂ）で微分可能で、この区間の任意のｘに対して、g'(x)≠０とし、ｘ→ａにおいて、f(x)→０、g(x)→０だとします。このとき、lim(ｘ→a）f”(x)/g'(x)＝L（Lは有限確定の実数値）とします。このとき

lim(ｘ→a)f'(x)/g(x)＝lim(x→a)f”(x)/g'(x)＝L　が成り立ちます。これをロピタルの定理といいます。

通常高校では、正式にはロピタルの定理は履修しませんが、不定形の　極限値を求める時の確認になりますので、覚えておくといいと思います。

ロピタルの定理の証明

0＜ｈ＜ｂ－ａであるｈ＞０をとると、２つの関数f1(x)、g1(x)を次のように定義します。ただし、f1(a)=g1(a)＝０とします。ここで、ａ≦ｘ≦ａ+ｈで　f1(x)＝f(x)、g1(x)＝g(x)とします。このとき、f1(x)、g1(x)は[a,a+h] で連続で、（a,a+h)で微分可能で、かつg1’(x)＝g'(x)≠０です。

従って、コーシーの平均値の定理によって、

f(x+h)/g(x+h)＝｛f1(a+h）-f1(a)｝/｛g1(a+h)-g1(a)｝＝f'(c)/g'(c)　ここで、ａ＜ｃ＜a+h　となります。ｈ→０の時、ｘ→aとなりますから、

lim(ｘ→a)f'(x)/g(x)＝lim(x→a)f’(x)/ｇ’(x)＝f'(c)/g'(c)＝L　となります。

平均値の定理の証明

平均値の定理は、ロールの定理から、導く事が出来ます。

まず、ロールの定理から行きましょう。

f(x)が閉区間[a,b] で連続で、開区間(a,b) で微分可能であり、　　　　f(a)＝f(b)　が成り立つならば、ａ＜ｃ＜ｂを満たす　ｆ’(c)＝０となるｃが存在する、と言うものです。これは、自明のようにも思えますが、証明が必要です。これは、やってみてください。平均値の定理は、ロールの定理の一般化です。

すなわち、f(x)、g(x)が、閉区間[a,b] で連続で、開区間(a,b) で微分可能でありかつｇ’(x)≠０ならば、

｛ｆ(b)－ｆ(a)｝/｛ｇ(b)-ｇ(a)｝＝ｆ’(c)/ｇ’(c)　、a＜ｃ＜ｂを満たすｃが存在すると言うものです。

ロールの定理を使った証明

F(x)＝ｆ(x)－ｆ(a)－｛ｆ(b)－ｆ(a)｝/｛ｇ(b)-ｇ(a)｝･{g(x)－g(a)}とおくと、F(x)は、[a,b] で連続で、F(a)＝F(b)＝０、(a,b)で微分可能となります。また、F’(x)＝ｆ’(x)－{ｆ(b)－ｆ(a)｝/｛ｇ(b)-ｇ(a)･ｇ’(x)となりますから、ロールの定理が使えて、Ｆ’(c)＝０、a<c<bを満たすｃが存在します。

これは、ｆ(b)－ｆ(a)｝/｛ｇ(b)-ｇ(a)｝＝ｆ’(c)/ｇ’(c)　、a＜ｃ＜ｂを満たすｃが存在すると言う事になります。（証明終）

極限に関する問題

０＜ａ＜1/√２とします。ｆ(x)＝sin(ax)＋cos(ax)について、方程式　　ｘ＝ｆ(x)は、ただ一つの実数解αを持つとします。任意の実数ｘに対して、ｘ1＝ｘ、ｘn+1＝ｆ(ｘn)（ｎ＝1,2,3、･･･････）で定義される数列｛xn｝について、

lim（ｎ→∞)ｘn　を求めてください。