リーマン積分とディリクレー関数　－ルベーグ積分の登場－

通常学ぶ積分法

高校や、大学教養課程で学ぶ積分法（定積分）は、リーマン積分です。一般的に区分求積法で求められる積分法です。高校では、区間をｎ等分して、その矩形の和を求め、極限値を求める事によります。ところが、リーマン積分では、積分できない関数があるのです。ディリクレー関数がその一例です。ディリクレー関数は次のように定義される関数です。

ｆ(x)＝１（ｘが有理数の時）

ｆ(ｘ)=０（ｘが無理数の時）

ディリクレー関数は、リーマン積分できません。なぜなら、Σｆ(ξk)Δｘk=Snを考える時に、ξを有理数にとれば、Snは区間の長さになり、ξを無理数にすれば、Sn=０となります。従って、lim(n→∞)Snが存在しません。従ってディリクレー関数は、リーマン積分できないことになります。

リーマン積分できないものも積分できる方法－ルベーグ積分－

ディリクレー関数のようなものは、リーマン積分はできませんが、このような関数も積分可能にするものが、ルベーグ積分です。ルベーグ積分は、数学の専門課程で学ぶ分野です。ルベーグ積分を考える時には、測度を定義する必要があります。数直線上で連続な点の集合は、区間で長さを持っています。そして、長さは、両端の数の差になっています。この区間は、隙間がなく連続ですが、区間の長さに隙間がある場合に拡張したものが測度の概念です。

ルベーグ積分の定義

[a,b] で定義されたy=ｆ(x)のルベーグ積分を次のように定義します。ｘ∈[a,b]に対するf(x)の下限をα、上限をβとします。[α,β] をｎ等分し、α=y0<y1<･･･<･･････<yn=β　とします。また、ｎ-1個の半開区間　[y0,y1),････[yn-1,yn) と閉区間 [yn-1,yn]を、J1,J2,･･･････,Jn とします。f(x)がJkに属するようなｘの集合をＥｋ(k=1,2,3,･･････）とし、Ekは可測とします。

Sn=Σ(k=1,n)yk-1μ（Ek)　を求め、ｎ→∞を求め,Max(yk-yk-1)→0としたときの極限値をルベーグ積分を定義します。

リーマン積分が、独立変数ｘを区分するのに対し、ルベーグ積分は、従属変数ｙを区分するともいえます。興味がある人は、大学で勉強してください。

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