ベクトル・数列の問題－解答編－

ベクトル・数列の演習

数Bで扱われるベクトルと数列は、割合苦手にしている人が多いように思います。ベクトルでは平面ベクトル、空間ベクトルがありますが、空間ベクトルがやや難しくなっています。また数列は、他分野との融合問題や複合問題があります。苦手意識がある人は、問題演習をやって、問題に慣れておきましょう。

ベクトル・数列の問題の解答

【問題1】

\(0≦θ<2π\)とし、\(xy\)平面上で、\(\vec{ a }＝(cosθ，sinθ)，\vec{b}＝(\sqrt{3}/2，1/2)\)とします。
点\(P_n，Q_n　(n=1,2,3,･････････)\)を、\(\overrightarrow{OP_1}＝(1,0)\)
\(\overrightarrow{OQ_n}＝\overrightarrow{OP_n}－(\vec{ a }･\overrightarrow{OP_n})\vec{ a }\)
\(\overrightarrow{OP_{n+1}}＝4(\overrightarrow{OQ_n}－(\vec{b}･\overrightarrow{OQ_n})\vec{b}\)で定めます。
点\(P_n,Q_n\)はそれぞれ一定の直線上にあることを示してください。
（東京大学）

【解答1】

\(\overrightarrow{OP_n}＝(x_n，y_n)\)とします。
定義から計算すると、\(\overrightarrow{OQ_n}(x_nsinθ－y_ncosθ)(sinθ，－cosθ)\)となります。
ここで、\(z_n＝x_nsinθ－y_ncosθ\)とおくと，\(\overrightarrow{OQ_n}＝z_n(sinθ，－cosθ)\)
また、定義により、
\(\overrightarrow{OP_{n+1}}＝4(\overrightarrow{OQ_n}－(\vec{b}･\overrightarrow{OQ_n})\vec{b}\)
＝\(z_n(sinθ+\sqrt{3}cosθ，－3sinθ－\sqrt{3}sinθ)\)
＝\(z_n(sinθ+\sqrt{3}cosθ)(1，－\sqrt{3})\)
ここで、\(\overrightarrow{OQ_n}=(x’_n，y’_n)\)とおくと、\((x’_n，y’_n)＝z_n(sinθ，－cosθ)\)から、
\(x’_n＝z_nsinθ，y’_n＝－z_ncosθ\)から
\(x’_ncosθ+y’_nsinθ＝0　(n=1,2,3････････)\)となりますから、\(Q_n\)は\(xcosθ+ysinθ＝0\)上にあり、
\(P_n\)は、\(\sqrt{3}x+y=0\)上にあります。

【問題2】

\(xyz\)平面上に3点　\(A(1,0,0)，B(-1,0,0)，C(0,\sqrt{3},0)\)をとります。
\(△ABC\)を１つの面とし、\(z≧0\)の部分に含まれる正4面体\(ABCD\)をとり、さらに\(△ABD\)を１つの面とし、点\(C\)と異なる点\(E\)をもう1つの頂点とする正4面体\(ABDE\)をとります。
(1)　点\(E\)の座標を求めてください。
(2)　正4面体\(ABDE\)の\(y≧0\)の部分の体積を求めてください。
（東京大学）

【解答2】

(1)　\(△ABC\)の重心を\(G_1\)とすると、\(G_1(0,\sqrt{3}/3,0)\)となりますから、\(D(0,\sqrt{3}/3,z_1)　(z_1≧0\)とおけます。\(AD=AB\)から、
\(z_1^2＝8/3\)　\(z_1≧0\)から、\(z_1＝2\sqrt{6}/3\)よって、\(D(0,\sqrt{3}/9,2\sqrt{6}/9)\)
よって、\(△ABD\)の重心を\(G_2\)とすると、\(G_2(0,\sqrt{3}/9,2\sqrt{6}/9)\)
\(G_2\)は、\(CE\)の中点だから、
\(\overrightarrow{OE}＝2\overrightarrow{OG_2}－\overrightarrow{OC}＝(0,－7\sqrt{7}/9,4\sqrt{6}/9)\)･･････(答)

(2)　点\(E,D\)はともに\(y,z\)平面上にあるから、線分\(ED\)と\(z\)は交わります。その交点を\(F\)とすると、\(EF:FD＝7：3\)
正4面体\(ABDE\)で、辺\(AE,BE\)は、\(y≦0\)の部分に含まれますから、体積\(V\)とすると、
\(V=7/10･正4面体ABDE＝7/10・正４面体ABCD\)
＝\(7/10･1/3･2\sqrt{6}/3･(△ABC）\)
＝\(7/10･1/3･2\sqrt{6}/3･1/2･2\sqrt{3}=7\sqrt{2}/15\)

 

ベクトルの問題の解答を先に公開します。数列の問題の解答については、後日公開します。

【問題3】

\(n\)を自然数とします。
(1)　自然数\(k\)は、\(2≦k≦n\)を満たすとします。このとき、\(9^k\)を\(10\)進法で表したときの桁数は、\(9^{k-1}\)の桁数と等しいか、または\(1\)だけ大きいことを示してください。
(2) \(９^{k-1}\)と\(9^k\)の桁数が等しいような\(2≦k≦n\)の範囲の自然数\(k\)の個数を\(a_n\)とします。\(9^k\)の桁数を\(nとa_n\)で表してください。
(3) \(\displaystyle \lim_{ n \to \infty } a_n/n\)を求めてください。
（神戸大学）

【問題4】

\(n\)を正の整数とします。\(xyz\)空間の点\(P(x,y,z)\)が、次の関係式を満たすとします。
\(x+y+z≦n\)
\(－x+y－z≦n\)
\(x－y－z≦n\)
\(－x－ｙ+ｚ≦n\)
このとき、\(P(x,y,z)\)で、\(x,y,z\)が全て整数であるものの個数を\(f(n)\)とします。

\(\displaystyle \lim_{ n \to \infty } f(n)/n^3 \)を求めてください。
（東京大学）

【問題5】

\(a\)は\(0<a<π\)を満たす実数とします。
\(n=0,1,2,････････\)に対し、\(nπ<x<(n+1)π\)の範囲で、\(sin(x+a)＝xsinx\)を満たす\(x\)がただ1つ存在します。これを\(x_n\)とします。
(1)　\(\displaystyle \lim_{ n \to \infty }(x_n－nπ)\)を求めてください。
(2)　\(\displaystyle \lim_{ n \to \infty }n(x_n－nπ)\)を求めてください。
(京都大学）