ベクトルの定義と考え方－空間ベクトルの解答編－

空間ベクトル

空間ベクトルは、平面ベクトルに比べてイメージしにくいので、問題が難しく感じられると思いますが、慣れの問題でもありますから、演習をやって基本をしっかり理解してください。

空間ベクトルの問題の解答

【問題１】

空間に４点o(0,0,0),A(0,0,1),B(2,0,0),C(0,2,0) があるとします。点ｏから△ABCに垂線をおろしたときの交点をHとします。

（１）a,bを実数とします。$\vec{v}$=(a,b,1) としたとき、$\vec{v}$が$\overrightarrow{ AB }$, $\overrightarrow{ AC }$ の両方に直交するようなa,bを求めてください。

（２）4面体OABCの体積Vおよび△ABCの面積Sを求めてください。

（３）４面体OABCに内接する球の半径ｒを求めてください。

【解答１】

（１）$\overrightarrow{ OA }$=(2,0,-1), $\overrightarrow{ OB }$=(0,2,-1), $\vec{v}$⊥$\overrightarrow{ AB }$,$\overrightarrow{ AC}$ですから、内積を考えて、a,bについて解くと、(a,b)=(1/2,1/2) となります。

（２）OABCの体積Vは、1/3･2･2･1＝2/3となります。△ABCを底面と見ると、高さは$\overrightarrow{ OH}$の大きさとなります。 $\vec{v}$=(1/2,1/2,1)より、実数ｋを用いて、$\overrightarrow{ OH}$=k(1,1,2)=(k,k,2k)　です。また、点Hは、平面ABC上にあるから、$\overrightarrow{ OH}$=$\overrightarrow{ OA}$+s$\overrightarrow{ AB}$+t$\overrightarrow{ AC}$=(2s,2t,1-s-t) とあらわせます。従ってk=2s,k=2t,2k=1-s-tとなりますから、これを解くとk=1/3です。従って$\overrightarrow{ OH}$=(1/3,1/3,2/3) となりますから、OH=$\sqrt{((1/3)^2+(1/3)^2+(2/3))^2}$=$\sqrt{6}/{3}$ よって、 V=2/3　から、$\frac{\sqrt{6}}{9}S=\frac{2}{3}$ 従って、S=$\sqrt{6}$

（３）V=$\frac{r}{3}(△OAB+△OBC+△OCA+△ABC)$ ,△OAB=△OCA=1、△OBC=$\sqrt{6}$ ですから、内接円の半径rは、$\frac{2}{3}$=$\frac{r}{3}$(1+2+1+$\sqrt{6})$ から、r=$\frac{4-\sqrt{6}}{5})$となります。

【問題２】

３角推OABCにおいて、OAを２：１に内分する点をP、OBを３：１に無い分する点をQ、BCの中点をRとします。このとき、この３角推をPQRを通る平面で切ったとき、この平面が線分ACと交わる点をSとします。

（１）$\vec{a}$=$\overrightarrow{ OA }$, $\vec{b}$=$\overrightarrow{ OB}$, $\vec{c}$=$\overrightarrow{ OA }$, とします。３点P,Q,Rを通る平面上の任意の点Xに対して、$\overrightarrow{ OX }$　を $\vec{a}$,$\vec{b}$,$\vec{c}$であらわしてください。

（２）点Sは、線分AC上をある比で内分しているとします。その比を求めてください。

【解答２】

$\overrightarrow{ OP}$=$\frac{2}{3}\vec{a}$, $\overrightarrow{ OQ}$=$\frac{3}{4}\vec{b}$, $\overrightarrow{ OR}$=$\frac{1}{2}\vec{b}+\vec{c}$ 、点Xは、P,Q,Rの3点を通る平面上にあるから、 $\overrightarrow{ OS}$=$(1-s-t) \overrightarrow{ OP}$+s $\overrightarrow{ OQ}$+t $\overrightarrow{ OR}$ (s,tは実数）････①とかけます。これから、$\overrightarrow{ OX}$=2/3･(1-s-t)$\vec{a}$+3/4･s$\vec{b}$+1/2･t$\vec{c}$　一方、点Sha,辺AC上にあるから、 $\overrightarrow{ OS}$=(1-u)$\vec{a}$+u$\vec{b}$･････②とおけます。$\vec{a}$,$\vec{b}$,$\vec{c}$ は1次独立ですから、①、②から、s=-4/5,t=3/5　となります。従って、 $\overrightarrow{ OS}$=2/5･$\overrightarrow{ OA }$+3/5･$\overrightarrow{ OC }$, となりますから、点Sは、線分ACを３：２に内分します。

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