ベクトルの定義と考え方-空間ベクトルの解答編-

空間ベクトル

空間ベクトルは、平面ベクトルに比べてイメージしにくいので、問題が難しく感じられると思いますが、慣れの問題でもありますから、演習をやって基本をしっかり理解してください。

空間ベクトルの問題の解答

【問題1】

空間に4点o(0,0,0),A(0,0,1),B(2,0,0),C(0,2,0) があるとします。点oから△ABCに垂線をおろしたときの交点をHとします。

(1)a,bを実数とします。\vec{v}=(a,b,1) としたとき、\vec{v}\overrightarrow{ AB }, \overrightarrow{ AC } の両方に直交するようなa,bを求めてください。

(2)4面体OABCの体積Vおよび△ABCの面積Sを求めてください。

(3)4面体OABCに内接する球の半径rを求めてください。

【解答1】

(1)\overrightarrow{ OA }=(2,0,-1), \overrightarrow{ OB }=(0,2,-1), \vec{v}\overrightarrow{ AB },\overrightarrow{ AC}ですから、内積を考えて、a,bについて解くと、(a,b)=(1/2,1/2) となります。

(2)OABCの体積Vは、1/3・2・2・1=2/3となります。△ABCを底面と見ると、高さは\overrightarrow{ OH}の大きさとなります。 \vec{v}=(1/2,1/2,1)より、実数kを用いて、\overrightarrow{ OH}=k(1,1,2)=(k,k,2k) です。また、点Hは、平面ABC上にあるから、\overrightarrow{ OH}=\overrightarrow{ OA}+s\overrightarrow{ AB}+t\overrightarrow{ AC}=(2s,2t,1-s-t) とあらわせます。従ってk=2s,k=2t,2k=1-s-tとなりますから、これを解くとk=1/3です。従って\overrightarrow{ OH}=(1/3,1/3,2/3) となりますから、OH=\sqrt{((1/3)^2+(1/3)^2+(2/3))^2}=\sqrt{6}/{3} よって、 V=2/3 から、\frac{\sqrt{6}}{9}S=\frac{2}{3} 従って、S=\sqrt{6}

(3)V=\frac{r}{3}(△OAB+△OBC+△OCA+△ABC) ,△OAB=△OCA=1、△OBC=\sqrt{6} ですから、内接円の半径rは、\frac{2}{3}=\frac{r}{3}(1+2+1+\sqrt{6}) から、r=\frac{4-\sqrt{6}}{5}) となります。

【問題2】

3角推OABCにおいて、OAを2:1に内分する点をP、OBを3:1に無い分する点をQ、BCの中点をRとします。このとき、この3角推をPQRを通る平面で切ったとき、この平面が線分ACと交わる点をSとします。

(1)\vec{a}=\overrightarrow{ OA }, \vec{b}=\overrightarrow{ OB}, \vec{c}=\overrightarrow{ OA }, とします。3点P,Q,Rを通る平面上の任意の点Xに対して、\overrightarrow{ OX } を \vec{a},\vec{b},\vec{c}であらわしてください。

(2)点Sは、線分AC上をある比で内分しているとします。その比を求めてください。

【解答2】

\overrightarrow{ OP}=\frac{2}{3}\vec{a}, \overrightarrow{ OQ}=\frac{3}{4}\vec{b}, \overrightarrow{ OR}=\frac{1}{2}\vec{b}+\vec{c} 、点Xは、P,Q,Rの3点を通る平面上にあるから、 \overrightarrow{ OS}=(1-s-t) \overrightarrow{ OP}+s \overrightarrow{ OQ}+t \overrightarrow{ OR} (s,tは実数)・・・・①とかけます。これから、\overrightarrow{ OX}=2/3・(1-s-t)\vec{a}+3/4・s\vec{b}+1/2・t\vec{c} 一方、点Sha,辺AC上にあるから、 \overrightarrow{ OS}=(1-u)\vec{a}+u\vec{b}・・・・・②とおけます。\vec{a},\vec{b},\vec{c} は1次独立ですから、①、②から、s=-4/5,t=3/5 となります。従って、 \overrightarrow{ OS}=2/5・\overrightarrow{ OA }+3/5・\overrightarrow{ OC }, となりますから、点Sは、線分ACを3:2に内分します。

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