ベクトルに関する精選問題－解答編－

ベクトル

ベクトル精選問題の解答を書いておきます。問題のリンクは次です。ベクトル精選問題

ベクトルに関する精選問題の解答

【問題1】

\(ｒは0＜ｒ＜1\)を満たす実数とします。\(ｘｙｚ\)空間に\(Ｏ(0,0,0)、Ａ(1,0,0)、Ｂ(0,1,0)\)をとります。

(1)\(ｘｙｚ\)空間の点Ｐが、\(ｌ\overrightarrow{PA}ｌ\)＝\(ｌ\overrightarrow{PB }ｌ＝ｒ･ｌ\overrightarrow{PO }ｌ\)を満たすものが存在する範囲を求めてください。

(2)点Ｐが(1)の条件を満たして動くとき、内積 \(\vec{PA} \cdot \vec{PB}\) の最大値、最小値を、\(M(r),m(r)\) とします。このとき、
\(\lim_{ r \to 1-0 }(1－ｒ^2）･(M(r)－m(r))\) を求めてください。（東大）

【解答１】

(1)\(Ｐ(x,y,z)\)とすると、
\(\overrightarrow{PA}＝\overrightarrow{OA}－\overrightarrow{OP}＝
(1-x,-y,-z)\)、\(\overrightarrow{PB}＝\overrightarrow{OB}－
\overrightarrow{OP}＝(-x,1-y,-z)\)、\(\overrightarrow{PO}＝
－\overrightarrow{OP}＝(-x,-y,-z)\)となります。

ここで、条件より
\((1-x)^2+ｙ^2+ｚ^2＝ｒ^2･(ｘ^2+ｙ^2+ｚ^2)　（0＜ｒ＜1）\)
これより、\(ｙ＝ｘ、･･････①\)　またこれを用いて
\(ｚ^2＝(－2(1－ｒ^2)ｘ^2+2ｘ－1)/(1－ｒ^2)\)･････②

よって、\(1－ｒ^2＞0\)ですから、②から、\(ｚ^2≧０\)から、
\(－2(1－ｒ^2)ｘ^2+2ｘ－1≧０すなわち、2(1-ｒ^2)ｘ^2－2ｘ＋1≦0\)
を満たす実数ｘが存在することが、必要十分条件です。

\(2(1-ｒ^2)ｘ^2－2ｘ＋1＝0･･･････③\)
③の判別式をDとすると、\(D/4＝2ｒ^2－１≧０\)です。
よって、\(0＜ｒ＜1 も考慮して、1/\sqrt{2}≦ｒ＜1\)　となります。

(2) \(\vec{PA} \cdot \vec{PB}＝ｘ(1-x)+ｘ(1+ｘ)+ｚ^2
＝2ｒ^2/(1－ｒ^2)･ｘ－1/(1－ｒ^2)＝f(x)\)･･･････④

③の解をα、β（α≦β）とすると、解と係数の関係より、
\(α+β＝1/(1－ｒ^2), αβ＝1/2(1－ｒ^2)\)･･････⑤

ここで、④から、 \(\vec{PA} \cdot \vec{PB}\)は、ｘに関して、傾きが
正の直線ですから、
\(M(r)－m(r)＝f(β)－f(α)＝2ｒ^2(β－α)/(1－ｒ^2)\)･･････⑥となります。

よって、⑤を用いて、
\((β－α)^2＝(α+β)^2－2αβ＝(2ｒ^2－1)/(１－ｒ^2)^2\)より、
\(β－α＝\sqrt{2r^2－1}/(1－r^2)\)

従って、⑥から、
\(\lim_{ r \to 1-0 }(１－ｒ^2)(M(r)－m(r))
＝\lim_{ r \to 1-0 }(2ｒ^2\sqrt{2r^2－1})/(1+ｒ^2)
＝1/2\)　･･･････(答)

【問題２】

\(ｘｙｚ\)平面において、ｘｙ平面上に原点を中心とする半径２の円Cがあるとします。点(0,1,0)をとおり、ベクトル(1,1,－2)に平行な直線を l とします。

ｌ 上の動点Ｐから最短距離にあるＣ上の点をＱとします。Ｐがｌ全体を動くときの、点Ｑの動く範囲を求めてください。（大阪大）

【解答２】

\(Ｃ上の点をＲ\)とすると、\(Ｒ(２cosθ,２sinθ,０)　(0≦θ＜２π）\)　とおけます。直線　ｌ　は、\((0,1,0)を通り、\vec{d}＝(1,1、－2)\)の方向ベクトルですから、
直線　l　は、\(ｘ/1＝ｙ－1/1＝ｚ/(－2)\)
よって、\(ｌ上の点Pは、P(ｔ,ｔ＋1、－２ｔ)\)とあらわせます。
\(Ｐ(t,t+1,-2t)のｔ\)を固定して、円周上の\(Ｒ(２cosθ,２sinθ,０) を　(0≦θ＜２π）\)でうごかします。

\(PR^2＝6ｔ^2+２ｔ+5－４{t･cosθ+(1+t)sinθ}\)

ここで、\(6ｔ^2+２ｔ+5\)は定数だから、\(PR^2は、t･cosθ+(1+t)sinθ･････①が最大のとき、
最小になります。\)
\(\vec{α}＝(t,t+1)、\vec{β}＝(cosθ、sinθ\)　とすれば、\(\vec{α}、\vec{β}\)が平行のとき
最大値\(\sqrt{t^2+(t+1)^2}\)をとります。

\(ｘｙ平面上のH(t,t+1)\)は、\(y=x+1\)の上の点です。
この直線上に、Hが拘束されると、\(\vec{α}＝(t,t+1)\)　が定まって、このベクトルは、
これと平行な単位ベクトルと平行なときに最大となります。
このとき、\(点R\)は、\(Ｑ(2cosθ、2sinθ、0)\)とすれば良いことになります。

次に、\(ｔ\)を変数として、\(－∞＜ｔ＜∞\)で動かすと、\(ｘｙ平面上\)で、\(y=x+1\)を動き
\(\overrightarrow{OH}\)と同じ向きの\(\overrightarrow{OQ}\)の終点Qが、円C上にきまります。

よって、求めるQの範囲は、\(ｘｙ\)平面上で、\(円Cのｙ>ｘ\)の上部になります。

【問題３】

\(ｘｙｚ\)平面上の正８面体の頂点を、\(Ｐ_1,Ｐ_2、･･･････、Ｐ_6\)とベクトル
\(\vec{ v }\)に対して、\(ｋ≠ｍ\)のとき、\(\vec{PM } \cdot \vec{ v }\)≠０
が成り立っているとします。
このとき、ｋと異なるすべてのｍに対し、\(\vec{PM } \cdot \vec{ v }\)＜0が成り立つような\(P_k\)が存在することを証明してください。
（京大）

【解答３】

正８面体をＶとします。\(\vec{ v }に垂直な平面をα\)とします。
このとき、\(\vec{ v }の始点をα上\)にとります。
αを遠方にとると、\(\vec{ v }の終点がα\)に対して、反対にできます。

この状態から、αをＶに接触するまで近ずけるとすると、αとＶは接触して
いません。もし接触するとすれば、辺\(P_iP_jがα\)上にあり、
\(\vec{P_iP_j } \cdot \vec{ v }＝０\)となり条件に反します。

従って、ｋと異なるすべてのｍに対して\(\overrightarrow{PM }\) と、\(\vec{ v }\)の成す角は\(90°\)よりおおきいですから、
\(\vec{PM } \cdot \vec{ v }＜０\)　となります。

【問題４】

４面体ＯＡＢＣにおいて、\(ＯＡ＝ＯＢ＝２、ＯＣ＝１、∠ＡＯＢ＝∠ＢＯＣ＝∠ＣＯＡ＝60°\)とします。

辺ＯＡ上に、点Ｐを、\(\overrightarrow{OP}＝ｘ･\overrightarrow{OA }\)
となるようにとり、三角形OBCの内部に点Qをとり、内積　\(\vec{PQ } \cdot \vec{ OB}＝０、\vec{PQ } \cdot \vec{OC }＝０\)　となるようにとります。

\(ｘが0＜ｘ＜1\)の範囲を動くとき、４面体BCPQの体積の最大値とその最大値を与えるｘの値を求めてください。
（福島県立医科大改）

【解答４】

\(\overrightarrow{OQ}＝ｓ\overrightarrow{OB}+ｔ\overrightarrow{OC}\)とおくと、
\(\overrightarrow{PQ}\cdot\overrightarrow{OB}=0,\overrightarrow{PQ}\cdot\overrightarrow{OC}=0\)

となります。従って、
\(4s+ｔ＝２ｘ\)････････①
\(ｓ+ｔ＝ｘ\)････････②
これより、\(ｓ＝1/3、ｔ＝2/3\)から、\(\overrightarrow{OB}\cdot\overrightarrow{OQ}＝ｘ･(1/3･\overrightarrow{OB}+2/3･\overrightarrow{OC})\)････････③

\(\overrightarrow{PQ}⊥△ABC\)
よって、４面体\(BCPQは、底面が△BCQ高さPQ\)の３角錐です。

\(1/3･\overrightarrow{OB}+2/3･\overrightarrow{OC}＝\overrightarrow{OD}\)とおくと
直角三角形OCDで考えると、OC=1ですから、Qから、BCへの垂線長さは、\(1-x\)

よって、\(△BCQ＝1/2･\sqrt{3}(1－ｘ)\)
また、\((ｌ\overrightarrow{PQ}ｌ)^2＝24/9･ｘ^2\)
よって高さ\(ｈ＝ＰＱ＝２\sqrt{3}/3･ｘ\)

よって、\(Ｖ＝1/3･Ｓｈ＝\sqrt{2}/3･x(1-x)\)＝\(\sqrt{3}/2･(－(ｘ－1/2)^2＋1/4)\)
\(（0<x<1)\)　より、
\(ｘ＝1/2のとき、体積は、最大値\sqrt{2}/12\)をとります。