ベクトルに関する精選問題－解答編－

ベクトル

ベクトル精選問題の解答を書いておきます。問題のリンクは次です。ベクトル精選問題

ベクトルに関する精選問題の解答

【問題1】

$ｒは0＜ｒ＜1$を満たす実数とします。$ｘｙｚ$空間に$Ｏ(0,0,0)、Ａ(1,0,0)、Ｂ(0,1,0)$をとります。

(1)$ｘｙｚ$空間の点Ｐが、$ｌ\overrightarrow{PA}ｌ$＝$ｌ\overrightarrow{PB }ｌ＝ｒ･ｌ\overrightarrow{PO }ｌ$を満たすものが存在する範囲を求めてください。

(2)点Ｐが(1)の条件を満たして動くとき、内積 $\vec{PA} \cdot \vec{PB}$ の最大値、最小値を、$M(r),m(r)$ とします。このとき、
$\lim_{ r \to 1-0 }(1－ｒ^2）･(M(r)－m(r))$ を求めてください。（東大）

【解答１】

(1)$Ｐ(x,y,z)$とすると、
$\overrightarrow{PA}＝\overrightarrow{OA}－\overrightarrow{OP}＝ (1-x,-y,-z)$、$\overrightarrow{PB}＝\overrightarrow{OB}－ \overrightarrow{OP}＝(-x,1-y,-z)$、$\overrightarrow{PO}＝ －\overrightarrow{OP}＝(-x,-y,-z)$となります。

ここで、条件より
$(1-x)^2+ｙ^2+ｚ^2＝ｒ^2･(ｘ^2+ｙ^2+ｚ^2)　（0＜ｒ＜1）$
これより、$ｙ＝ｘ、･･････①$　またこれを用いて
$ｚ^2＝(－2(1－ｒ^2)ｘ^2+2ｘ－1)/(1－ｒ^2)$･････②

よって、$1－ｒ^2＞0$ですから、②から、$ｚ^2≧０$から、
$－2(1－ｒ^2)ｘ^2+2ｘ－1≧０すなわち、2(1-ｒ^2)ｘ^2－2ｘ＋1≦0$
を満たす実数ｘが存在することが、必要十分条件です。

$2(1-ｒ^2)ｘ^2－2ｘ＋1＝0･･･････③$
③の判別式をDとすると、$D/4＝2ｒ^2－１≧０$です。
よって、$0＜ｒ＜1 も考慮して、1/\sqrt{2}≦ｒ＜1$　となります。

(2) $\vec{PA} \cdot \vec{PB}＝ｘ(1-x)+ｘ(1+ｘ)+ｚ^2 ＝2ｒ^2/(1－ｒ^2)･ｘ－1/(1－ｒ^2)＝f(x)$･･･････④

③の解をα、β（α≦β）とすると、解と係数の関係より、
$α+β＝1/(1－ｒ^2), αβ＝1/2(1－ｒ^2)$･･････⑤

ここで、④から、 $\vec{PA} \cdot \vec{PB}$は、ｘに関して、傾きが
正の直線ですから、
$M(r)－m(r)＝f(β)－f(α)＝2ｒ^2(β－α)/(1－ｒ^2)$･･････⑥となります。

よって、⑤を用いて、
$(β－α)^2＝(α+β)^2－2αβ＝(2ｒ^2－1)/(１－ｒ^2)^2$より、
$β－α＝\sqrt{2r^2－1}/(1－r^2)$

従って、⑥から、
$\lim_{ r \to 1-0 }(１－ｒ^2)(M(r)－m(r)) ＝\lim_{ r \to 1-0 }(2ｒ^2\sqrt{2r^2－1})/(1+ｒ^2) ＝1/2$　･･･････(答)

【問題２】

$ｘｙｚ$平面において、ｘｙ平面上に原点を中心とする半径２の円Cがあるとします。点(0,1,0)をとおり、ベクトル(1,1,－2)に平行な直線を l とします。

ｌ 上の動点Ｐから最短距離にあるＣ上の点をＱとします。Ｐがｌ全体を動くときの、点Ｑの動く範囲を求めてください。（大阪大）

【解答２】

$Ｃ上の点をＲ$とすると、$Ｒ(２cosθ,２sinθ,０)　(0≦θ＜２π）$　とおけます。直線　ｌ　は、$(0,1,0)を通り、\vec{d}＝(1,1、－2)$の方向ベクトルですから、
直線　l　は、$ｘ/1＝ｙ－1/1＝ｚ/(－2)$
よって、$ｌ上の点Pは、P(ｔ,ｔ＋1、－２ｔ)$とあらわせます。
$Ｐ(t,t+1,-2t)のｔ$を固定して、円周上の$Ｒ(２cosθ,２sinθ,０) を　(0≦θ＜２π）$でうごかします。

$PR^2＝6ｔ^2+２ｔ+5－４{t･cosθ+(1+t)sinθ}$

ここで、$6ｔ^2+２ｔ+5$は定数だから、$PR^2は、t･cosθ+(1+t)sinθ･････①が最大のとき、 最小になります。$
$\vec{α}＝(t,t+1)、\vec{β}＝(cosθ、sinθ$　とすれば、$\vec{α}、\vec{β}$が平行のとき
最大値$\sqrt{t^2+(t+1)^2}$をとります。

$ｘｙ平面上のH(t,t+1)$は、$y=x+1$の上の点です。
この直線上に、Hが拘束されると、$\vec{α}＝(t,t+1)$　が定まって、このベクトルは、
これと平行な単位ベクトルと平行なときに最大となります。
このとき、$点R$は、$Ｑ(2cosθ、2sinθ、0)$とすれば良いことになります。

次に、$ｔ$を変数として、$－∞＜ｔ＜∞$で動かすと、$ｘｙ平面上$で、$y=x+1$を動き
$\overrightarrow{OH}$と同じ向きの$\overrightarrow{OQ}$の終点Qが、円C上にきまります。

よって、求めるQの範囲は、$ｘｙ$平面上で、$円Cのｙ>ｘ$の上部になります。

【問題３】

$ｘｙｚ$平面上の正８面体の頂点を、$Ｐ_1,Ｐ_2、･･･････、Ｐ_6$とベクトル
$\vec{ v }$に対して、$ｋ≠ｍ$のとき、$\vec{PM } \cdot \vec{ v }$≠０
が成り立っているとします。
このとき、ｋと異なるすべてのｍに対し、$\vec{PM } \cdot \vec{ v }$＜0が成り立つような$P_k$が存在することを証明してください。
（京大）

【解答３】

正８面体をＶとします。$\vec{ v }に垂直な平面をα$とします。
このとき、$\vec{ v }の始点をα上$にとります。
αを遠方にとると、$\vec{ v }の終点がα$に対して、反対にできます。

この状態から、αをＶに接触するまで近ずけるとすると、αとＶは接触して
いません。もし接触するとすれば、辺$P_iP_jがα$上にあり、
$\vec{P_iP_j } \cdot \vec{ v }＝０$となり条件に反します。

従って、ｋと異なるすべてのｍに対して$\overrightarrow{PM }$ と、$\vec{ v }$の成す角は$90°$よりおおきいですから、
$\vec{PM } \cdot \vec{ v }＜０$　となります。

【問題４】

４面体ＯＡＢＣにおいて、$ＯＡ＝ＯＢ＝２、ＯＣ＝１、∠ＡＯＢ＝∠ＢＯＣ＝∠ＣＯＡ＝60°$とします。

辺ＯＡ上に、点Ｐを、$\overrightarrow{OP}＝ｘ･\overrightarrow{OA }$
となるようにとり、三角形OBCの内部に点Qをとり、内積　$\vec{PQ } \cdot \vec{ OB}＝０、\vec{PQ } \cdot \vec{OC }＝０$　となるようにとります。

$ｘが0＜ｘ＜1$の範囲を動くとき、４面体BCPQの体積の最大値とその最大値を与えるｘの値を求めてください。
（福島県立医科大改）

【解答４】

$\overrightarrow{OQ}＝ｓ\overrightarrow{OB}+ｔ\overrightarrow{OC}$とおくと、
$\overrightarrow{PQ}\cdot\overrightarrow{OB}=0,\overrightarrow{PQ}\cdot\overrightarrow{OC}=0$

となります。従って、
$4s+ｔ＝２ｘ$････････①
$ｓ+ｔ＝ｘ$････････②
これより、$ｓ＝1/3、ｔ＝2/3$から、$\overrightarrow{OB}\cdot\overrightarrow{OQ}＝ｘ･(1/3･\overrightarrow{OB}+2/3･\overrightarrow{OC})$････････③

$\overrightarrow{PQ}⊥△ABC$
よって、４面体$BCPQは、底面が△BCQ高さPQ$の３角錐です。

$1/3･\overrightarrow{OB}+2/3･\overrightarrow{OC}＝\overrightarrow{OD}$とおくと
直角三角形OCDで考えると、OC=1ですから、Qから、BCへの垂線長さは、$1-x$

よって、$△BCQ＝1/2･\sqrt{3}(1－ｘ)$
また、$(ｌ\overrightarrow{PQ}ｌ)^2＝24/9･ｘ^2$
よって高さ$ｈ＝ＰＱ＝２\sqrt{3}/3･ｘ$

よって、$Ｖ＝1/3･Ｓｈ＝\sqrt{2}/3･x(1-x)$＝$\sqrt{3}/2･(－(ｘ－1/2)^2＋1/4)$
$（0<x<1)$　より、
$ｘ＝1/2のとき、体積は、最大値\sqrt{2}/12$をとります。