フェルマーの最終定理の証明－オイラーの証明－

フェルマーの定理の証明

フェルマーの最終定理は、1995年にアンドリュー・ワイルズにより証明されたことは、すでに説明いたしました。フェルマーの最終定理の証明には日本人数学者も相当貢献しています。フェルマーの定理の証明に貢献した人々
フェルマーの定理（大定理、最終定理）をもう一度書いておきましょう。

「\(n≧3\)の整数とするとき、\(ｘ^n+ｙ^n＝ｚ^n\)の自然数解は存在しない。」

フェルマーは自ら考案した無限降下法によって、\(n=4\)の場合は証明していただろうと言われています。当初、\(n\)の小さいものから証明されていきました。
\(n=3\)のときは、オイラーによって証明され、\(n=5\)の場合はディリクレ、ルジャンドルが証明したと言われています。その後も\(n=7\)などがラメらによって証明されましたが、これらのやり方は限界がありました。全ての場合を証明したのは、1995年のワイルズです。証明は、Annals of Mathematics に２編発表されていますが、そのうちの主論文はこちらになります。Wilesの主論文　もう一つは、TaylorとWilesの共著で、割合短いものですが（Ring theoretic properties of a certain Hecke algebras.)、1994年に発表した論文の間違いを補完するもので、この２本の論文でフェルマーの最終定理は、証明されたのでした。

フェルマーの定理の\(n＝3\)の場合の証明

（１）小手試し　やさしい問題から

\(ｘ^3+ｙ^3＝ｚ^3\)　で\(ｚ＝素数\)のときは、自然数解は存在しない。

（証明）

この問題は、大学入試問題でも通用します。\(ｚ＝ｐ＝素数\)というだけで、事情は変わってきます。問題をわかりやすく書き直してみましょう。

\(ｘ^3+ｙ^3＝p^3･･･････････①\)　（ただし\(ｐ\)は素数)　は、圧倒的に証明は易しくなります。
①が自然数解をもつとします。
\(①\)から、\((x+y)(x^2－xy＋ｙ^2)＝p^3･････････②\)であって、\((x^2－xy＋ｙ^2－(x+y)＝(x-y)^2+xy－ｘ－ｙ=Z(x-y)^2+(x-1)(y-1)－1\)で\(x,y≧2\)ですから、\(x^2－xy＋ｙ^2＞ｘ+ｙ\)がわかります。従って②式と\(p\)が素数\((p≧2)\)であることから、\(x^2－xy＋ｙ^2=p^2かつx+y=ｐ\)
これから、\(xy=0\)となり、\(x,y\)が自然数であることに矛盾します。従って、①は自然数解をもちません。あっという間に証明できてしまいました。でも特殊な場合とはいえあのフェルマーを証明できたんだと言うことは、自信になるかもしれません。

（２）\(ｘ^3+ｙ^3＝ｚ^3････････③\)は自然数解を持たないことの証明。（Euler)

次は、\(n=3\)とはいえ難問です。代数的整数論の世界に入っていきます。
やはり、背理法を使うことになります。前半は初等的ですが、後半はかなり難しくなります。

③に\(xyz≠0\)の自然数解が存在すると仮定し、\(\vert z \vert\)は最小だとします。\(x，y\)に公約数\(d\)があれば、③の両辺を\(d^3\)で割ればよいから、\(x,y\)は互いに素とできます。そこで、\(x,y,z\)のどれか1つが偶数であることがわかります。また、\(x,y\)は奇数、\(z\)は偶数としてよいことになります。ここで、\(p=(x+y)/2，　q=(x-y)/2\)とおくと、\(p,q\)は整数で、\(x=p+q，　y=p-q････････④\)です。\(p,q\)のどちらかが偶数で他は奇数です。④を③に代入すると、\(2p(p^2+3ｑ^2)＝ｚ^3\)･････････⑤　が得られます。
そこで、（ⅰ）\(2p\)と\(p^2+3ｑ^2\)が互いに素　の場合と（ⅱ)1以外の公約数をもつ　場合　に分かれます。

（ⅰ）の場合を考えてみます。（ⅱ）もほとんど同様に論理展開することができます。
⑤より、\(p^2+3ｑ^2＝３乗数･･･････････⑥\)、かつ　\(2p＝３乗数･･･････････⑦\)
⑥を実数の範囲で因数分解すると、\((ｐ+\sqrt{-3}･q)(ｐ－\sqrt{-3}･q）＝３乗数･････････⑧\)

ここで、\(m,n\)を整数として、\(m＋n･\sqrt{-3}\)と表される複素数の集合を、\(\mathbb{ Z[\sqrt{-3}]}\) とすると、\(α、β、γ \in \mathbb{ Z[\sqrt{-3}]}\)　について、\(α＝βγ\)が成り立ち、\(α≠±1\)で\(β\)か\(γ\)を割り切るとき、素数と同じ扱いをする事ができます。このような新たな代数的数を取り扱うことにより、精密な議論のもと、
\(ｐ+\sqrt{-3}･q＝(a+\sqrt{-3}･ｂ)^3\)　　\(a,b\)は整数･････････⑨　と書けることがわかります。
⑨から、普通の複素数の実部、虚部を考えて、
\(p=a(a+3b)(a-3b)\)　また、⑦から、\(2a(a+3b)(a-3b)＝３乗数\)　となります。この３つの因数は、互いに素であることが示せますから、それぞれ3乗数であることがわかりますから、\(a+3b＝X^3,a-3b＝Y^3、2a＝Z^3\)とおくと、\(X^3+Y^3＝Z^3\)となります。これは、③式と同じ形ですが、あきらかに、\(0＜\vert Z \vert＜\vert z \vert\)です。この結果は、③に解が存在すれば、さらに小さい解が存在することを示して矛盾します。従って背理法により③は、自然数解は持ちません。（Q.E.D.)

ここで用いた論法は、フェルマーが考えた無限降下法と言われています。フェルマーは、\(n=4\)の場合を、無限降下法で証明したであろうと、現在では考えられています。