フェルマーの小定理－結構使える定理－

フェルマーの大定理（最終定理）について

フェルマーの大定理については、以前触れましたが、この問題はとても難しくて、解決されるまで３６０年もかかってしまったことは、既にご理解いただけていることと思います。フェルマーの大定理は、

ｎをｎ≧3とする自然数とするとき、ｘ^n＋ｙ^n＝ｚ^n　を満たす自然数解（x,y,z)は存在しないというものでした。最終的には、この問題は、ｘ^p＋ｙ^p＝ｚ^p　ｐは３以上の素数、と言う問題に帰結します。

フェルマーの小定理について

一方、これもフェルマーが考えたものですが、フェルマーの小定理と言うものがあります。大定理に比べて注目度は低いですが、整数の問題を考える時に、役に立つものです。

フェルマーの小定理とは、ｐを素数とするとき、ａとｐが互いに素ならば、ａ^(p-1)－１　は、ｐで割り切れる、と言うものです。

フェルマーの小定理の証明

この証明には、色々な証明法があると思いますが、2項定理を使って証明してみましょう。これは、合同式を使ってみます。ａ^p≡ａ(modp）を証明します。ａ＝１なら成り立ちます。ａ＝ｋで成り立つとすると、a＝k+1の時は、（ａ＋１）^p＝Σａ^（p-k）･1^k　ここで、仮定によりａ^p≡ａ(modp)ですから、（ａ＋１）^p≡ａ＋１(modp)　よって、

（ａ＋１）^(p-1)≡０（modp)　よって、ａ(ａ^(p-1)-1）＝ｋ’P　であり、ａとｐは互いに素ですから、フェルマーの小定理は成り立つことになります。

整数に関する問題

【問題1】２^100を９７で割った余りを、暗算で求めてください。

【問題2】ａ^2－ａが１００００で割り切れる自然数ａで最小のものを求めてください。