ノーベル物理学賞受賞記念－難関校入試問題・解答編PartⅠ－

難関大・東大の問題の解答PartⅠ

難関大が実力をためす問題を出題してきました。旧課程の入試問題ですが、さすがに解きにくい問題ぞろいです。おそらく受験生も苦戦したのではないかと思います。
問題等は次のリンクです。ノーベル物理学賞受賞記念・難関大入試問題

難関校入試問題解答

【問題1】 実数$a,b$に対し、$x_0,y_0）＝(1,0)$、平面上の点$P_n(x_n,y_n)を,(x_{n+1},y_{n+1})＝(ax_n－by_n,ｂx_n+ay_n)、(n=1,2,3･･･････)$によって定めます。このとき次の(1)(2)がともに成り立つような$(a,b)$を全て求めてください。 (1)$P_0＝P_6$、　(2)$P_0,P_1,P_2,P_3,P_4,P_5$は相異なる

【解答１】 旧課程の問題です。1次変換の回転の行列を使うのでしょうが,新課程のいまは、特に考慮しなくてもいいでしょう。群論の考え方をしますが、こちらの面では重要です。

$\begin{pmatrix} a & -b \\ ｂ & ａ\end{pmatrix}$において、条件式から、$P_n(x_n,y_n)をA=ｒ\begin{pmatrix} cosθ & -sinθ \\ sinθ & cosθ\end{pmatrix}$の回転行列で回転すると、$x_{n+1},y_{n+1})$となります。

ここで、$ab≠0$で、$ｒ＝\sqrt{a^2+b^2}$で、$cosθ＝a/r、sinθ＝b/r$
よって、$A^nは、nθの回転とｒ^n$の拡大写像となります。

条件から,$P_6＝P_0$ですから、$ｒ^6＝１、6θ＝2ｍπ$より、$r=1、θ＝ｍπ/3$　これより、求める点は、$(1/2、±\sqrt{3}/2)$

【問題2】 $a$を実数として、$ｘ＞0$で定義された関数$f(x),g(x)$を定義します。 $f(x)＝cosｘ/ｘ,ｇ(x)＝sinｘ+ax$ このとき、$y=f(x)とｙ＝g(x)$が$x>0$の範囲で共有点を3つ持つような$a$を全て求めてください。

【解答2】 $X>0ですから、ｘ≠0$で、このとき原式は、$(cosｘ－ｘsinx)/ｘ^2＝a$･･････① となります。従って、①が相異なる3つの実数解を持てば大事になります。 $h(x)＝(cosｘ－ｘsinx)/ｘ^2$とおくと、$ｈ’(x)＝－cosx･(x^2+2）/ｘ^3$ $ｈ'(x)$の符号を考え、$x>$での極値がどうなるか考えればいい事になります。 $h(x)$は、$ｘ＝(2n+1/2)πで、極小値－2/(4n+1)π$、$ｘ＝(2n+3/2)πで、極大値－2/(4n+3)π$　をとります。また、$\displaystyle \lim_{ n \to \infty } ｈ(x)＝∞$　となりますから、求める$ａは、ａ＝－2/5π、2/7π＜a＜2/3π$　です。

【問題3】 $A,B$の2人がいるとします。投げた表裏の出る確率がそれぞれ、$1/2$のコインが1枚あり、最初は$A$がコインを持っているとします。今

(a)$A$がコインを持っているときは、コインを投げ、表がでれば$A$に 1点をを与え、コインは$A$がそのまま持つものとします。裏が出れば、 両者に点が与えられず、コインは、$AからB$に渡すものとします。
(b)$B$がコインを持っているときは、表がでれば$B$に１点を与え コインは$B$が持つものとします。

(1)$A,B$あわせてちょうど$n$コインを投げ終えたときに、$A$が勝利に なる確率$p(n)$を求めてください。
(2) $\displaystyle \sum_{n= 1 }^{∞} p_n$を求めてください。

【解答３】 (1)$n$が偶数か奇数かで$A$が勝つ場合を考えて、 ①$n$が偶数のとき、$n=2m$とおくと、$p(2ｍ)＝ｍ/2^{2m+1}＝n/2^{n+1}$ ②$n$が奇数のとき、$n=2m+1$とおくと、$p(2m+1)＝{}_n \mathrm{ C }_2ｘ2/２^{2m+1}＝(n-1)(n-3)/2^{n+2}　n＝1も含む。$ (2)$S_m=\displaystyle \sum_{ k = 1 }^{ｍ} p(n)$とします。 $m$が奇数のとき、$\displaystyle \sum_{ k = 1 }^{ｍ} p(n)－k(k+1)/3･2^{2m+1}＝T$とおくと 上記より、$\displaystyle \lim_{ n \to \infty }T＝16/9$から、$\displaystyle \sum_{ k = 1 }^{ｍ} p(n)＝16/27$、$m$が偶数のときもこれと等しくなりますから、答えは,$16/27$