ノーベル物理学賞受賞記念－難関校入試問題・解答編PartⅠ－

難関大・東大の問題の解答PartⅠ

難関大が実力をためす問題を出題してきました。旧課程の入試問題ですが、さすがに解きにくい問題ぞろいです。おそらく受験生も苦戦したのではないかと思います。
問題等は次のリンクです。ノーベル物理学賞受賞記念・難関大入試問題

難関校入試問題解答

【問題1】 実数\(a,b\)に対し、\(x_0,y_0）＝(1,0)\)、平面上の点\(P_n(x_n,y_n)を,(x_{n+1},y_{n+1})＝(ax_n－by_n,ｂx_n+ay_n)、(n=1,2,3･･･････)\)によって定めます。このとき次の(1)(2)がともに成り立つような\((a,b)\)を全て求めてください。 (1)\(P_0＝P_6\)、　(2)\(P_0,P_1,P_2,P_3,P_4,P_5\)は相異なる

【解答１】 旧課程の問題です。1次変換の回転の行列を使うのでしょうが,新課程のいまは、特に考慮しなくてもいいでしょう。群論の考え方をしますが、こちらの面では重要です。

\(\begin{pmatrix} a & -b \\ ｂ & ａ\end{pmatrix}\)において、条件式から、\(P_n(x_n,y_n)をA=ｒ\begin{pmatrix} cosθ & -sinθ \\ sinθ & cosθ\end{pmatrix}\)の回転行列で回転すると、\(x_{n+1},y_{n+1})\)となります。

ここで、\(ab≠0\)で、\(ｒ＝\sqrt{a^2+b^2}\)で、\(cosθ＝a/r、sinθ＝b/r\)
よって、\(A^nは、nθの回転とｒ^n\)の拡大写像となります。

条件から,\(P_6＝P_0\)ですから、\(ｒ^6＝１、6θ＝2ｍπ\)より、\(r=1、θ＝ｍπ/3\)　これより、求める点は、\((1/2、±\sqrt{3}/2)\)

【問題2】 \(a\)を実数として、\(ｘ＞0\)で定義された関数\(f(x),g(x)\)を定義します。 \(f(x)＝cosｘ/ｘ,ｇ(x)＝sinｘ+ax\) このとき、\(y=f(x)とｙ＝g(x)\)が\(x>0\)の範囲で共有点を3つ持つような\(a\)を全て求めてください。

【解答2】 \(X>0ですから、ｘ≠0\)で、このとき原式は、\((cosｘ－ｘsinx)/ｘ^2＝a\)･･････① となります。従って、①が相異なる3つの実数解を持てば大事になります。 \(h(x)＝(cosｘ－ｘsinx)/ｘ^2\)とおくと、\(ｈ’(x)＝－cosx･(x^2+2）/ｘ^3\) \(ｈ'(x)\)の符号を考え、\(x>\)での極値がどうなるか考えればいい事になります。 \(h(x)\)は、\(ｘ＝(2n+1/2)πで、極小値－2/(4n+1)π\)、\(ｘ＝(2n+3/2)πで、極大値－2/(4n+3)π\)　をとります。また、\(\displaystyle \lim_{ n \to \infty } ｈ(x)＝∞\)　となりますから、求める\(ａは、ａ＝－2/5π、2/7π＜a＜2/3π\)　です。

【問題3】 \(A,B\)の2人がいるとします。投げた表裏の出る確率がそれぞれ、\(1/2\)のコインが1枚あり、最初は\(A\)がコインを持っているとします。今

(a)\(A\)がコインを持っているときは、コインを投げ、表がでれば\(A\)に 1点をを与え、コインは\(A\)がそのまま持つものとします。裏が出れば、 両者に点が与えられず、コインは、\(AからB\)に渡すものとします。
(b)\(B\)がコインを持っているときは、表がでれば\(B\)に１点を与え コインは\(B\)が持つものとします。

(1)\(A,B\)あわせてちょうど\(n\)コインを投げ終えたときに、\(A\)が勝利に なる確率\(p(n)\)を求めてください。
(2) \(\displaystyle \sum_{n= 1 }^{∞} p_n\)を求めてください。

【解答３】 (1)\(n\)が偶数か奇数かで\(A\)が勝つ場合を考えて、 ①\(n\)が偶数のとき、\(n=2m\)とおくと、\(p(2ｍ)＝ｍ/2^{2m+1}＝n/2^{n+1}\) ②\(n\)が奇数のとき、\(n=2m+1\)とおくと、\(p(2m+1)＝{}_n \mathrm{ C }_2ｘ2/２^{2m+1}＝(n-1)(n-3)/2^{n+2}　n＝1も含む。\) (2)\(S_m=\displaystyle \sum_{ k = 1 }^{ｍ} p(n)\)とします。 \(m\)が奇数のとき、\(\displaystyle \sum_{ k = 1 }^{ｍ} p(n)－k(k+1)/3･2^{2m+1}＝T\)とおくと 上記より、\(\displaystyle \lim_{ n \to \infty }T＝16/9\)から、\(\displaystyle \sum_{ k = 1 }^{ｍ} p(n)＝16/27\)、\(m\)が偶数のときもこれと等しくなりますから、答えは,\(16/27\)