ノーベル物理学賞受賞記念－難関大・解答編PartⅡ－

ノーベル物理学賞・受賞記念－解答編PartⅡ－

難関大入試問題例のリンクは次にあります。ノーベル物理学賞受賞記念-難関大-

難関大・東京大学の入試問題解答編PartⅡ

【問題4】

\(△ABC\)において、\(∠BAC＝90°,\vert \overrightarrow{ AB }\vert =1, \vert \overrightarrow{ AC}\vert ＝\sqrt{3}\)とします。\(△ABC\)の内部の点\(P\)が
\(\overrightarrow{PA }/\vert \overrightarrow{PA}\vert +\overrightarrow
{ PB}/\vert  \overrightarrow{PB}\vert +\overrightarrow
{PC}/\vert \overrightarrow{PC}\vert ＝\overrightarrow{0}\)を満たすとします。
(1)　\(∠APB、∠APC\)を求めてください。
(2)　\(\vert \overrightarrow{PA }\vert 、\vert \overrightarrow  {PB}\vert 、\vert \overrightarrow{PC}\vert \) をもとめてください。

【解答4】

(1)\(\overrightarrow{PA }/(\vert \overrightarrow{PA}\vert\)等は、単位ベクト
ルですから、その絶対値は１となります。
また、条件式から、\(\overrightarrow{PA }/\vert \overrightarrow{PA}
\vert +\overrightarrow { PB}/\vert  \overrightarrow{PB}\vert＝－
\vert\overrightarrow{PC}/\vert \overrightarrow{PC}\vert\)となります。これ
を２乗して、単位ベクトルの大きさは１であることを使えば、\({\overrightarrow
{PA } }\cdot \vec{\overrightarrow{PB}}/(\vert \overrightarrow{PA}\vert)･
\vert  \overrightarrow{PB}\vert )＝－1/2\)　となります。よって\(∠ABP＝120°
\)　また、同様にして、\(∠APC=120°\)となります。

(2)\(A(0,0)、B(0,1)、C(\sqrt{3},0)\) を通る座標軸をとります。\(A,B\)を通る円
\(C_1\)の中心を\(O_1\)　もう一つの円の中心を中心を\(O_2\)とします。(1)から、\(P\)は\(△AO_1C、△AO_2B\)は頂角が120°の２等辺３角形となります。そこで、円の方程式を求めると,\(C_1\)：\(ｘ^2+ｙ^2+\sqrt{3}/3ｘ－ｙ＝0\)･････①\(C_2：ｘ^2+ｙ^2－\sqrt{3}ｘ+ｙ＝0･･････②\)となりますから、①、②の原点以外の交点が\(P\)です。\(P(\sqrt{3}/7,2/7)\)　となりますから、\(\vert \overrightarrow{PA }\vert ＝1/\sqrt{7}\)、\(\vert \overrightarrow  {PB}\vert ＝2\sqrt{7}\vert\)、\(\vert \overrightarrow{PC}\vert ＝4/\sqrt{7}\)

【問題５】

次の命題\(P\)を証明したい。

命題\(P\)：次の条件\((a)､(b)\)をともに満たす自然数\(A\)が存在する。
(a)　Aは連続する３つの自然数の積である。
(b)　Aを１０進法であらわしたとき、１が連続して99回以上現れるところが
ある。

(1)\(ｙ\)を自然数とします。このとき不等式\(x^3+3ｙｘ^2＜(ｘ+ｙ－1)
(x+y)(x+y+1)＜x^3+(3y+1)\)が成り立つような正の実数\(x\)の範囲を求めてください。

(2) 命題 \(P\)を証明してください。

【解答５】

(1)両辺の差をとりPとおくと、\(P=3ｙ^2ｘ+ｙ^3－ｘ－ｙ＞0\)となりますから、
\((3y^2－1)x+y(y+1)(y-1)＞0･･･････①\)　\(y≧1\)ですから、①は任意の\(ｘ
＞0\)で成りたちます。また同様に、条件式から、\(x^2－(3y^2－1)ｘ－y^3+ｙ
＞0\)････②　②の\(x^2－(3y^2－1)ｘ－y^3+ｙ＝0の2解をα≦β\)とすると、
\(y≧1から、α≦0≦β\)です。従って、求める\(ｘ\)の範囲は、\(ｘ＞(3y^2－
1+\sqrt{9y^4+4y^3－6y^2-4y+1})/2\)となります。･･･････①

(2)\((1111･･････1111111)^{ 99 }＝037････････037\)となりますか
ら、\(x=10^n　(n≧99)となるｘをとり\)\(x^3+(3y+1)ｘ^2\)を考えると、
\(x^3+3yｘ^2＝1000･･････011111･･････111111100000\)
\(x^3+(3y+1)ｘ^2＝1000･･････011111･･････111111200000\)
\(x,y\)は①を満たす自然数で、\((ｘ+ｙ－1) (x+y)(x+y+1)\)は3連続自然数で
すから、命題\(P\)は成り立ちます。

【問題６】

座標空間において、\(xy\)平面内で、不等式\(lxl≦1、lyl≦1\)により定まる正方形\(S\)の４つの頂点を\(A(-1,1,0),B(1,1,0),C(1,-1,0)\)とします。正方形\(S\)を、直線\(BD\)を軸として回転してできる立体を\(V_1\),直線\(AC\)を軸として回転してできる立体を\(V_2\)とします。

(1)\(0≦ｔ＜1\)を満たす実数\(t\)に対し、平面\(x=t\)による\(V_1\)の切り口の面積を求めてください。

(2)\(V_1とV_2\)共通部分の体積を求めてください。

【解答６】

(1)原点を\(ｏ\)とする\(xyz\)空間で、\(V_1\)上の点を\(P(x,y,z)\)とします。
(a)\(x+y≧0\)のとき、条件から　\(∠PBO≦∠ABO＝π/4\)、よって\(cos∠PBO≧1/
\sqrt{2}\)となります。従って、ベクトルから、\(-ｘ-ｙ+2/\sqrt{(x-1)^2+
(y-1)^2+ｚ^2\sqrt{2}}≧\sqrt{2}\)となるので、\(-ｘ-ｙ+2≧0かつ2xy-
2x-２ｙ+2-ｚ^2\)、よって\(x=t\)の切り口は、\(－ｔ≦ｙ≦2-ｔ,ｙ≦1－ｚ^2/2
(1+t)\)
(b)\(x+y≦0\)のときは(a)の\(x,y,t\)の符号を変えればいいですから、\(-2-ｔ≦ｙ
≦-ｔ、ｙ≧ｚ^2/2 (1+t)－1\)となります。\(0≦ｔ＜1\)ですから、求める面積 \(S\) は、\(a＝\sqrt{2(1-t^2)}\)とおくと、\(S=\int_{-a}^a {(1－ｚ^2/2 (1+t)－(ｚ^2/2 (1+t)－1)}dz\)＝\(8/3･\sqrt{2(1-t^2)}\)

(2)条件から,\(V_1、V_2\)は、\(xz\)平面に関して対称です。よって、\(V_2をｘ＝
t\)で切った切り口は、\(z軸\)との対称性を考え、これと、\(V_1\)の共通部分が、
\(V_1、V_2\)の共通部分\(D\)です。よって切り口の面積を\(S’\)とすると、
\(b=\sqrt{2(1-t}\)とおくと、\(S’＝2\int_{-b}^b {(1－ｚ^2/2 (1+t)}＝8
\sqrt{2}/3･\sqrt{1-t}\)　よって\(D\)の体積\(V\)は、\(V=2\int_0^1･8 \sqrt
{2}/3 \sqrt{1-t}dt＝32\sqrt{2}/9\)となります。