ガバリエリの原理－面積、体積を求める方法－

ガバリエリの原理とは

ガバリエリの原理は、平面図形の面積やや立体図形の体積を求める時に用いられる法則です。ガバリエリは、ニュートンやライプニッツ以前にこの原理を見出していますので、数学史的には、時代を先んじていたのかも知れません。もちろん、積分法を用いれば、球の体積などは容易に求めることができますが、立体図形の体積などを求める時の解答の答えの目安になるとも思われます。ガバリエリの原理は、立体図形で考えると、「２つの立体があるとき、１つの平面に平行な面積が等しい時には、その２つの立体の体積は等しいというものです。

ガバリエリの原理の球への応用

ガバリエリの原理で半径ｒの球の体積を求めてみましょう。半径ｒの半球と底面の半径がｒで高さがｒの円柱の２つの空間図形を考えてみましょう。底面に平行で、底面からｘの平面で２つの立体を切断した面積を考えます。円柱は、上面を底面とする円錐をくりぬいた図形を考えます。球の場合をS1(x)、円柱の場合をS2(x)とすると、S1=\(π･\sqrt{r^2-x^2}\sqrt{r^2-x^2}\)＝\((r^2-x^2)π\)また、S2(x)＝\((r^2－x^2)\)･π　となりますから、円柱から円錐をくりぬいた体積を計算すると、\(πr^2･r－1/3･πr^2･r=4/3･πr^3\)

この結果を用いて、球の表面積も求めることができます。\(S=4πr^2\)

Follow me!