オイラー定数とは－ｅのもつ意味－

オイラー定数ｅの持つ意味

オイラー定数（ネイピア定数）ｅは、指数関数、対数関数の微積分にとても重要な役割を果たしています。\(ｅ^x\)は、微分しても積分しても、関数は変わりません。ｅの定義は、高校で学びますが、もう少し詳しくｅのもつ意味を考えてみましょう。

２項定理

２項定理より、
\((1+1/ｎ)^n\)＝\(1+1/ｎ+n(n-1)/2!･(1/n)^2+････････+(1/n)^n\)
＝\(1+1/1!+1/2!･(1-1/n)+･･･････+1/n!･(1-1/n)+1/2!･(1-2/n)+\)
\(+･････+1/n!･(1-1/n)(1-2/n)･･････(1-(n-1)/n)\)

同様にして、\((1+1/(ｎ+1))^{n+1}\)を考え、比較すると、
\((1+1/ｎ)^n\)＜\((1+1/(ｎ+1))^{n+1}\)　となります。

また、\((1+1/ｎ)^n\)＜\(1+1/1!+1/2!+･･･････+1/ｎ!＜1+1/1+1/2+････+1/2^{n-1}＝3－1/2^{n-1}＜3\)　となります。

よって、数列　\((1+1/ｎ)^n\)　は単調増加し、有界ですから、収束することとなります。（＊：厳密には、有界な単調増加数列は、収束することは、証明が必要です。）

この極限値をeとすると、

\(\displaystyle \lim_{ n \to \infty }((1+1/ｎ)^n\)＝ｅ　となるわけです。

実数値での極限

次に、ｎ≦ｘ＜ｎ+1　となる実数ｘをとると、すなわち　n=[x] ですが、

\(1+1/ｎ≧1+1/ｘ＞1+1/(n+1)\)　となります。

\((1+1/n)^{n+1}＞(1+1/x)^x＞(1+1/(n+1))^n\)　が成り立ちますから、

\((1+1/n)^n･(1+1/n)＞(1+1/x)^x＞(1+1/(n+1))^{n+1}･(1+1/(n+1))^{-1}\)

です。\(ｘ→∞のとき、n→∞\)で、
\(\displaystyle \lim_{ n \to \infty }((1+1/ｎ)^n＝\displaystyle \lim_{ n \to \infty }((1+1/(ｎ+1))^{n+1}＝ｅ\)　ですから、

\(\displaystyle \lim_{ x \to \infty }((1+1/x)^x＝e\)　となります。
また、\(1/x＝ｈ\)とおけば、\(l x l →∞のとき、ｈ→0\)　ですから、

\(\displaystyle \lim_{ h \to 0}(1+h)^{1/h}＝e\)　が成り立つことになります。

オイラー定数ｅは、このような意味を持っているのです。