オイラーの多面体定理－凸正多面体－

オイラーの多面体定理

オイラーが凸正多面体について考察した定理であり、この定理自体は、高校でも学びます。凸多面体において、頂点の数を\(Ｖ\)、面の数を\(Ｆ\)、辺の数を\(Ｅ\)とすると、
\(ｖ＋Ｆ－Ｅ＝２\)････････①　が成り立ちます。
上式の\(２\)のことを、オイラー評数といいます。

正多面体が５種類である事の証明

正多面体は、５種類しかないことは、プラトンの時代から知られていました。
オイラーの多面体定理を使えば、多面体が、\(正４面体、正6面体、正8面体、正１２面体、正20面体\) の５種類しか存在しないことは、初等的に示すことができます。

オイラーの多面体定理において、正多面体の面が\(ｎ\)角形とし、各頂点に集まる辺の数を、\(m\)本とすると、

\(ｎ･Ｆ＝2Ｅ\)、\(ｍ･Ｖ＝2Ｅ\)　･････････②　となります。

①、②から、\(2Ｅ/ｍ+2Ｅ/ｎ－Ｅ＝２\)　となりますから、
\(1/ｍ＋1/ｎ－1/2＝1/Ｅ\)････････③　\((ｍ、ｎ≧3)\)

従って、\(1/ｍ＋1/ｎ＝1/2+1/Ｅ＞1/2\)　となります。
これから、\(ｍｎ－2ｍ－2ｎ＜0\)
となります。
これから、\((ｍ－2)(ｎ－2)＜4\)･･････④

④を満たす\(m,n≧3\)の自然数は、
\((m,n)＝(3,3)、(3,4)、(3,5)、(4,3)、(5,4)\)

従って、正多面体は、\(正４面体、正6面体、正8面体、正１２面体、正20面体\)
の5種類です。

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