オイラーの公式－関数の複素級数展開－

関数の級数展開

すでに説明しましたが、実数関数の指数関数\(ｅ^x\)は、マクローリン展開により、
\(ｅ^ｘ＝1+ｘ/1!+ｘ^2/2!+ｘ^3/3!+･･････+ｘ^n/ｎ!+･･･････\)････(1)
上式は、任意の実数ｘに関して収束することが証明できます。

関数の複素級数展開

ここで、(1)の右辺のｘの代わりに、複素数ｚに関する無限級数を考えます。つまり、
\(1+ｚ/1!+ｚ^2/2!+･･････+ｚ^n/ｎ!+･･････\)　　････････(2)
を考えます。

\(ｚ＝r(cosθ+isinθ)\)とすると、ド・モアブルの定理から\(ｚ^n＝r^n(cosnθ+isinnθ)\)
ですから、
\(Sn＝\displaystyle \sum_{ k = 0 }^{ n } ｚ^n/ｎ!\)
＝\(\displaystyle \sum_{ k = 0 }^{ n } r^k/k!･coskθ+\displaystyle \sum_{ k = 0 }^{ n } ir^k/k!･sinkθ\)となります。

l\( \displaystyle \sum_{ k = 0 }^{ n } r^k/k!･coskθ\) l≦\(\displaystyle \sum_{ k = 0 }^{ n } r^k/k!･lcoskθl\)≦\(\displaystyle \sum_{ k = 0 }^{ n } r^k/k!\)･･･････(3)　となります。

(3)の右辺の級数は、ｎ→∞で収束しますから、Snの実数部分は収束します。
同様に、Snの虚数部も収束します。従って、(2)の複素級数は収束することが分かります。これを、\(ｅ^z\)と書きます。

つまり、\(ｅ^z＝1+ｚ/1!+ｚ^2/2!+･････+ｚ^n/ｎ!+･･････\)となります。
これは、指数関数を複素数まで拡張したもので、加法定理も成り立ちます。

また、\(ｚ＝ｘ+iyなら、ｅ^z＝ｅ^{x+iy}\)　となり、
\(ｅ^{iy}＝1+yi/1-(yi)^2/2!+･･･････+(－1)^k･ｙ^{2k}/(2k)!+（－1)^k･ｙ^{2k+1}i/(2ｋ+1)!+･････＝cosy+i･siny\)　ですから、

\(ｅ^{x+iy}＝ｅ^x(cosy+i･siny)\)　となります。

これから、\(cosy＝(ｅ^{iy}+ｅ^{－iy})/2、siny＝(ｅ^{iy}－ｅ^{－iy})/2\)
となります。
これをオイラーの公式といいます。