うさぎとかめの結末はいかに

うさぎとかめの物語

昔話で「うさぎとかめ」のお話は有名です。うさぎは途中でお休みしたものだから、足はのろいが、着実に歩くかめさんに負けてしまったお話です。皆さんも小学生やそれ以下のころに聞いたことがあると思います。それでは、うさぎはどれだけサボったのでしょうか。計算で求めて見ましょう。（^o^）

うさぎとかめの問題

うさぎとかめが1000ｍの距離で競争をしました。かめは\(5m/分\)の速度で出発し、休むことなく歩き続けましたが、速度が\(1m\)あたり\(0.001ｍ/分\)の割合で連続的に落ちました。一方、うさぎは全工程を通して　\(200m/分\)で走り続けましたが、途中で一休みしました。競争の結果、ご存知の通りかめはうさぎより\(1分\)早くゴールに着きました。うさぎは、途中で何分休んだでしょうか。必要なら、自然対数の値を使っていいものとします。

【こたえ】

童謡ですが、微分方程式を活躍させましょう。

かめさんが、\(t\)分間に進んだ距離を、\(x\)m、\(t\)分後の速度を、\(v=dv/dt\)とします。条件より、\(dv/dx＝－1/1000\)
\(dv/dt＝dv/dx･dx/dt=－1/1000･v\)から、\(v(t)＝C･e^{－1/1000･t}\)　　また、\(v(0)=5\)から、\(C=5\)
よって、かめさんが、\(1000m\)を進む時間を、\(T\)分とすると、
\(T=\displaystyle \int_{0}^{T} vdt＝\displaystyle \int_{0}^{T} 5e^{－t/1000}dt＝5000(1－e-^{T/1000}＝1000\)
よって、\(4/5＝e^{－T/1000}\)から、\(T=1000log5/4＝223\)
うさぎさんの休んだ時間を\(u\)分とすると、かめさんは、うさぎさんより\(1\)分早く着いたから
\((1000/200+u)－223＝1\)　これより、\(u=219\)分･････これは休みすぎやろ（笑）

おまけの問題

自然数\(N\)に対して、\(NｘN\)を\(15\)で割った余りを、\(R\)とします。\(N\)を\(17\)を\(17\)回かけたものとするとき、\(R\)を求めてください。
(2018年桜陰中入試）

【こたえ】

\(N=17^17\)だから、\(N^2＝17^34\)を\(15\)で割った余りを求めればよいことになります。
簡単に計算するために、合同式をつかいます。中学受験生は知りませんが、解答の論理は同じです。
\(17≡2　(mod15)\)　だから、\(17^2≡4　(mod15)\)
さらに、\(17^4≡16≡1　(mod15)\)　そして、\(17^{32}≡1　(mod15)\)
よって、\(17^{34}≡1･4≡4　(mod15)\)　　こたえ　\(R=4\)

(注）2項定理でも解けますね。中学受験生のまともな解き方はなんでしょうか。
桜陰中学の問題は、\(n\)を２回かけたものを、\(15\)で割った余りを、\(<n>\)と表します。\(n\)を\(17\)を\(17\)回かけた数としたときの、\(<n>\)を求めなさい。結構難しい
問題ですね。