ある数を分数で表すこと－連分数展開－

蓮分数展開

ある与えられた実数を分数式であらわすことを、蓮分数展開といいます。蓮分数を使うと、無理数も、蓮分数で表すことができます。例えば、

$$\begin{eqnarray}
2 + \frac{ 3 }{ 4 + \frac{ 4 }{ 3+ \frac{ 4 }{ 3+ \ddots } } }
= \sqrt{ 7 }
\end{eqnarray} $$のようになります。無理数がこのような無限の分数であらわされるのはある意味で驚異でもあります。

また、黄金分割比は、\(\begin{eqnarray}
1 + \frac{ 1 }{ 1 + \frac{ 1 }{ 1 + \frac{ 1 }{ 1 + \ddots } } }
= \frac{ 1 }{ 2 } \left( 1 + \sqrt{ 5 } \right)
\end{eqnarray}\)　･･･････① となります。

黄金分割比について

黄金分割比は、長方形の形状で最も美しいと言われている比です。以前説明した、フィボナッチの数列の一般項にも現れる数で、\( \frac{ 1 }{ 2 } \left( 1 + \sqrt{ 5 } \right)\)となります。それでは、この黄金分割比が、①の無限連分数であらわされることを、示してください。黄金分割比をどうやって求めるのかを考えれば、それほど難しくないと思います。

Follow me!