難関大数学の基本-ⅠA、ⅡBの確認一橋大学-
数学ⅠA、ⅡBの確認
理系数学では、数ⅠA、ⅡB、Ⅲが試験範囲であり、数Ⅲ重視の出題がされますが、数ⅠA,ⅡBの項目も出題されます。これらは、かなり難しくなる傾向があります。ここでは、数ⅠA,ⅡBの問題の整理をしておきましょう。
数ⅠA、ⅡBの問題(一橋大学)
【問題1】
\(k\)を正の整数とします。\(5n^2-2kn+1<0\)を満たす\(n\)がちょうど1つあるような\(k\)を求めてください。
【問題2】
3次方程式\(x^3+ax^2+bx+c=0\)は相異なる3つの解\(p,q,r\)をもつとし、さらに\(2p^2-1,2q-1,2r-1\)も同じ方程式の相異なる3つの解であるとします。\(a,b,c,p,q,r\)の組を求めてください。
【問題3】
\(a\)を正の実数とします。点\((x,y)\)が、不等式\(x^2≦y≦x\)の領域を動くとき、常に\(1/2≦(x-a)^2+y≦2\)となるとします。このとき、\(a\)の値の範囲を求めてください。
【問題4】
正4面体\(OABC\)の1辺の長さを\(1\)とします。辺\(OA\)を\(2:1\)に内分する点を\(P\)、辺\(OB\)を\(1:2\)に内分する点を\(Q\)とし、\(0<t<1\)を満たす\(t\)に対して、\(OC\)を\(t:1-t\)にない分する点を\(R\)とします。
(1)\(PQ\)の長さを求めてください。
(2)\(△PQR\)の面積が最小になるときの\(t\)の値を求めてください。
【問題5】
\(n\)を\(3\)以上の整数とします。\(2n\)枚のカードがあり、そのうち赤いカードの枚数が\(6\)、白いカードの枚数は、\(2n-6\)とします。これらの\(2n\)枚のカードを無作為に、箱\(A\)と箱\(B\)に入れるものとします。このとき、2つの箱の少なくとも一方に赤いカードがちょうど\(k\)枚入っている確率を\(p_k\)とします。
(1)\(p_2\)を\(n\)で表し、\(p_2\)を最大にする\(n\)を求めてください。
(2)\(p_1+p_2<p_0+p_3\)を満たす\(n\)を求めてください。