難関大学の複素平面の問題

複素平面（ガウス平面）の取り扱い方

複素平面は、2次元座標やベクトルの成分表示と同類だと思います。2次元の位置の情報を1つの複素数で表すことができるのは、位置ベクトルの考え方と同じです。やや苦手にしている人もいるようですが、マスターすべきことはそれ程多くはありません。複素平面では、幾何学的取り扱い、極形式、ド･モアブルの定理の理解が重要だと思います。ここでは、少し面倒な問題、複素数にどう結び付けるかの問題演習をやってみましょう。複素平面に関連するリンクは次です。複素平面

複素平面の問題

【問題1】

相異なる3つの複素数があります。これらのうちから、重複を許してとったどの2つの積も、これらの３数のどれかにあたるとします。3数の組を求めてください。（東京工大）

【問題2】

\(a,b\)は実数の定数とし、\(a<b\)とします。このとき、\(t>0\)の実数とするとき、\(z\)に関する2次方程式
\(1/t･(z－a)^2+t(z－b)^2＝0\)　は虚数解をもつとします。それらを、\(x+iy，x－iy\)とし、\(x,y\)は実数、\(y>0\)とするとき、複素平面状の\(P(x,y)\)はどのような図形を描くか求めてください。（東京大学）

【問題3】

\(a,b,c,θ\)を次数と詩、\(z\)を複素数とします。
（１）\((1－z^c)(1+z^c+z^{2c}+･･･････････+z^{mc})\)を求めてください。
（2）次の式(\(n\)項の和）を求めてください。
\(cosθ+a^2cos3θ+a^4cos5θ+･･････････+a^{2n-2}cos(2n-1)θ\)
（和歌山県立医科大学）

【問題4】

\(p,q\)を相異なる正の整数とするとき、\(x\)に関する２つの2次方程式
\(x^{p-1}+x^{p-2}+･･････+ｘ+1＝0、x^{q-1}+x^{q-2}+･･････+ｘ+1＝0\)
が共通の解を持つとします。このとき、\(p\)と\(q\)は公約数を持つことを証明してください。