複素平面の考え方－ガウス平面はこう扱います－

複素平面の扱い方

複素平面（ガウス平面）の考え方は、平面座標やベクトルの成分表示にも通じるものがあります。複素平面は割合苦手にしている人が多い項目ですが、複素平面では、平面上の点を、１つの複素数で表すことができるために、複素数を用いて、図形を表すことも出来ます。複素数を、実部と虚部にわけて、\(ｚ＝x+iy，(x,yは実数)\)と表すことも重要ですが、複素数\(z\)で考えることも重要です。このとき基本的なのは、複素数　\(z、\overline{z}，\vert ｚ \vert\)の使い方です。たとえば、\(z\)が実数であることは、\(z＝\overline{z}\)ですし、\(\vert ｚ \vert^2＝ｚ\overline{z}\)となります。また複素数の極形式も基本的です。ド・モアブルの定理も縦横に使いこなせるようにしておきましょう。

複素平面の問題

【問題1】

自然数\(n\)と実数\(a,b\)に対し、実数\(x_n,y_n\)を、\(x_n+iy_n＝(a＋ｂi)^n\)で定めます。このとき、\(x_n･y_{n-1}－x_{n-1}･y_n\)の値を求めてください。（琉球大学）

【問題2】

複素平面上の点　\(α_1、α_2，･･･････，α_n，････････\)を、\(α_1＝i，α_{n+2}＝α_{n+1}+α_n　(n=1,2,･･････)\)で定めるものとし、
\(β_n=α_{n+1}/α_n\)とおきます。
（１）3点　\(β_１,β_2,β_３\)を通る円\(C\)の中心と半径を求めてください。
（２）全ての点\(β_n　(n=1,2,･･･････)\)は、円\(C\)の周上にあることを示してください。

（東京大学）

【問題3】

\(Ｏ\)を原点とする複素平面で、\(6\)を表す点を\(A\)、\(7+7i\)を表す点を、\(B\)とします。ここで、\(i\)は虚数単位です。
正の実数\(t\)に対し、複素数　\(14(t-3)/((1-i)t-7)\)をあらわす点を、\(P\)とします。

（１）∠APBをもとめてください。
（２）線分\(OP\)の長さが最大になる\(t\)を求めてください。

（東京大学）