数列に関する問題の解答　－数列の解法についてー

Introduction

数列に関する問題を書きましたが、ここではその問題の解答を書いておきますので、数列のやや難しい問題の解き方をマスターしていただきたいと思います。問題とその背景については、下のリンクを参照してください。

数列の問題１の解答

これはフィボナッチの数列の問題でした。この数列自然界にもよく現れる数列ですし、3項間の漸化式の問題の解法をマスターするのによい問題では無いかと思います。（頻出問題・標準問題）

$a_1＝0、ａ_2＝１　ａ_(n+1)＝a_n+ａ(n-1)　･････(＊)$　の３項間の関係式が成り立つ時に、一般項　ａnを求めてください。

このような漸化式の求め方は、やり方があります。２項間でも同様です。＊を変形して、$ａ_(n+1)－α・ａ_n＝β（a_n－α・ａ_(n-1）$と変形して考えます。根底には、等比数列の考え方が使えるようにするわけです。
上式は、$ａ_(n+1)＝(α+β)･ａ_n +αβ･ａ_(n-1)$　となりますから、
$α+β＝１、αβ＝１$となります。

従って、$α、β$は、2次方程式の解と係数の関係を逆に使うと、$ｔ＾2－ｔ－１＝０$の２解となります。これを解けば、ｔ＝$\frac{１±\sqrt{5}}{2}$となります。よって

$ａ_(n+1)－αａ_n＝β（ａ_n　－α・ａ_(n-1）$　及び$ａ_(n+1)－βａ_n＝α（a_n－β･a_(n-1）$となります。これより、$ａn+1－αａn＝β^n（ａ2－αａ1)＝β^n$、また$ａn+1－β・ａn＝α^n$　となります。従って、この2式を引き算すると、
$（β－α）ａn＝β^n－α^n$　となります。

よって$ａ_n＝1/(\sqrt{5})･([(√5+1)/2)^n－(√5－１)/2)^n]$となります。

注）（√5+1)/2 は黄金分割比として有名です。

数列の問題２の解答

問題は下記の通りです。

「ｎは自然数とします。ｘ^(n+1)を　$ｘ^2-ｘ-１$で割った余りを、$a_n･ｘ+b_n$とします。

（１）$ａ_(n+1)＝ａ_n+b_n、b_(n+1)＝a_n$　である事を示してください。

（２）自然数ｎに対して、$a_n、b_n$はともに自然数であり、互いに素である

事を証明してください。」（東大）

証明（１）

商をQn(x) とおくと、$ｘ^n+1＝（ｘ^2－ｘ－１)Qn(x) +ａn・ｘ+ｂn$　とかけます。この両辺にｘをかけると、

$ｘ^n+2＝（ｘ^2－ｘ－１)･ｘQn（x)+ａｘ^2+ｂn･ｘ$

＝$（ｘ^2－ｘ－１)｛ｘQｎ(x)+ａn｝+（ａn+ｂｎ）ｘ+ａｎ$･･･(1)

一方、$ｘ^n+2＝（ｘ^2－ｘ－１)Qn+1(ｘ) +ａn+1･ｘ+ｂn+1$･･･(2)

(1),(2)より、ａn+1＝ａn+bn、bn+1＝an　である。

証明２

数学的帰納法により、解く事が出来ます。やってみてください。