式と計算・方程式

式と計算・方程式

高校に入って、まずやるのは式と計算です。中学の復習と拡張ですが、高校数学をやるときの基本中の基本になります。しっかり練習をしましょう。

式と計算・方程式の問題

【問題1】

$a>b>c$であって　$(a+b+c)^2=a^3+b^3+c^3$　であるような自然数の組$(a,b,c)$を全て求めてください。

【問題2】

$x$の整式$x^n$を、$x$の整式$x^2+ｘ+1$で割った余りを求めてください。

【問題3】

自然数$n$に対して、$1/7・n^7+2/3・n^3+1/2・n^2－13/42・n$　は常に自然数であることを示してください。

【問題4】

$ｘ≧ｙ≧ｚ≧0$を満たす任意の$x,y,z$に対して、常に$ax+by+cz≧0$となるための必要十分条件は、定数$a,b,c$に対する連立方程式
$a≧0，a+b≧0，a+b+c≧0$であることを証明してください。

【問題5】

方程式　$x^5－ｘ－1＝0$は有理数の解をもたないことを証明してください。