式と計算・方程式

式と計算・方程式

高校に入って、まずやるのは式と計算です。中学の復習と拡張ですが、高校数学をやるときの基本中の基本になります。しっかり練習をしましょう。

式と計算・方程式の問題

【問題1】

\(a>b>c\)であって　\((a+b+c)^2=a^3+b^3+c^3\)　であるような自然数の組\((a,b,c)\)を全て求めてください。

【問題2】

\(x\)の整式\(x^n\)を、\(x\)の整式\(x^2+ｘ+1\)で割った余りを求めてください。

【問題3】

自然数\(n\)に対して、\(1/7・n^7+2/3・n^3+1/2・n^2－13/42・n\)　は常に自然数であることを示してください。

【問題4】

\(ｘ≧ｙ≧ｚ≧0\)を満たす任意の\(x,y,z\)に対して、常に\(ax+by+cz≧0\)となるための必要十分条件は、定数\(a,b,c\)に対する連立方程式
\(a≧0，a+b≧0，a+b+c≧0\)であることを証明してください。

【問題5】

方程式　\(x^5－ｘ－1＝0\)は有理数の解をもたないことを証明してください。