対称式と交代式－式計算の基本－

対称式について

式計算の工夫については、以前説明をしましたが、その基本的なものについて書いておきます。式変形をするときに、文字に関して対称的なものと、文字の入れ替えにより、式の符号がかわる交代式があります。このような式は、計算のやり方のによって計算スピードがかなり違ってきますので、式変形のやり方をマスターする必要があるとおもいます。

対称式は、文字を入れ替えたときに式が変わらないものをいいます。例えば、３文字で言うと、$ｘ+ｙ+ｚ$、$x^2+y^2+z^2$、$xy+yz+zx$　などは対象式です。一般に$x,y,z$の整式をｆ(x,y,z)とおくとき、$ｆ(y,x,z)＝ｆ(x,y,z)$　になるようなものが、対称式です。

そして対称式は、3文字の場合、基本対称式、$x+y+z, xy+yz+zx, xyz$で表す事ができます。例えば、$x^2+y^2+z^2$=$(x+y+z)^2-2(xy+yz+zx)$となるのはご承知のとおりです。

交代式について

交代式は、ｆ(y,x,z)=－ｆ(x,y,z)　になるものです。例をあげると、

$a^2(b-c)+b^2(c-a)+c^2(a-b)$　はａとｂを代えると符号がかわります。そして、交代式は、$(a-b)(b-c)(c-a)$を因数に必ず持ちますから、因数分解するときなどには、とても役に立ちますから覚えておいておくほうがいいと思います。

$a^2(b-c)+b^2(c-a)+c^2(a-b)$の因数分解は、ほとんど暗算でできます。与式は、文字に対して３次しきですから、$a^2(b-c)+b^2(c-a)+c^2(a-b)$＝
$k(a-b)(b-c)(c-a)　(kは定数$）とかけます。$a^2b$の両辺の係数を考えると、1=-kとなりますので、$a^2(b-c)+b^2(c-a)+c^2(a-b)$
＝$-(a-b)(b-c)(c-a)$　と直ちに因数分解できます。

対称式の扱い方

場合によっては、対称性を保ったまま計算するほうが、計算しやすいと思います。場合によっては、対称性をくずす方がよい時もありますが、対称的で綺麗なものは、そのままでやったほうがいい場合がかなり多いと思います。

対称式の問題例１

相異なる実数$x,y,z$が

$x+y+z=6･････①　xy+yz+zx＝-9･･････②$　の時に$w=xyz$の値の範囲を求めてください。

解１対称性を保つ方法

$①、②、およびｗから、実数x,y,z$は、tの３次関数$t^3-6t^2+9t-w=0$の実数解となります。従って

$ｆ(x)=t^3-6t^2+9t=w$･･･････③　となりますから、$y=f(x)$のグラフを微分を使って書き、グラフを考察すると、③が３実数解を持つのは、$0<w<4$　であることがわかります。これが答えです。

対称的な式の問題例２

$x,y,z$を正の実数とします。このとき

$A=(x/(x+y)+y/(y+z)+z/(z+x)$ とします。このとき

（１）$1<A<2$である事を示してください。

（２）$A=3/2$となる時の$x,y,z$の条件を求めてください。

対称性を保つ解法例

（１）$B$=$y/(x+y)$+$z/(y+z)$+$x/(z+x)$ とおきます。ここで、

$A+B$=$(x+y)/(x+y)$+$(y+z)/(y+z)$+$(y+x)/(z+x)$=3です。

$A$>$x/(x+y+z)$+$y/(x+y+z)$+$z/(x+y+z)$＝１ですから、同様に$B>1　もいえますから、1＜A＝３－Ｂ＝２となりますから、1＜Ａ＜2$です。

（２）$Ａ=1/(1+y/x)+1/(1+z/y)+1/(1+x/z)$　ですから、

$X=y/x,　Y=z/y,　Z=x/z　とおくと、XYZ=１,X,Y,Z＞０$のときに

$A=1/(1+X)+1/(1+Y)+1/(1+Z)=3/2$･･････①となる時の、$X,Y,Z$の条件を求めればいい事になります。①式を整理し、$XYZ＝１$を使うと、

$XYZ－１－(XY+YZ+ZX)＋(X+Y+Z)＝０$となりますから、これより、

$(X-1)(Y-1)(Z-1)=0$　となります。従って、$X=1 or Y=1 or Z=1$ となります。従って、$x=yまたはy=zまたはz=x$　となります。

（注）問題例１も２も対称性をくずして計算しても解く事はできますが、計算が、かなり面倒となります。対称性のあるものは、対称性を保って解く事を考えると、計算量も解く時間も短くなると思います。