フェルマーの最終定理の証明－オイラーの証明－

フェルマーの定理の証明

フェルマーの最終定理は、1995年にアンドリュー・ワイルズにより証明されたことは、すでに説明いたしました。フェルマーの最終定理の証明には日本人数学者も相当貢献しています。フェルマーの定理の証明に貢献した人々
フェルマーの定理（大定理、最終定理）をもう一度書いておきましょう。

「$n≧3$の整数とするとき、$ｘ^n+ｙ^n＝ｚ^n$の自然数解は存在しない。」

フェルマーは自ら考案した無限降下法によって、$n=4$の場合は証明していただろうと言われています。当初、$n$の小さいものから証明されていきました。
$n=3$のときは、オイラーによって証明され、$n=5$の場合はディリクレ、ルジャンドルが証明したと言われています。その後も$n=7$などがラメらによって証明されましたが、これらのやり方は限界がありました。全ての場合を証明したのは、1995年のワイルズです。証明は、Annals of Mathematics に２編発表されていますが、そのうちの主論文はこちらになります。Wilesの主論文　もう一つは、TaylorとWilesの共著で、割合短いものですが（Ring theoretic properties of a certain Hecke algebras.)、1994年に発表した論文の間違いを補完するもので、この２本の論文でフェルマーの最終定理は、証明されたのでした。

フェルマーの定理の$n＝3$の場合の証明

（１）小手試し　やさしい問題から

$ｘ^3+ｙ^3＝ｚ^3$　で$ｚ＝素数$のときは、自然数解は存在しない。

（証明）

この問題は、大学入試問題でも通用します。$ｚ＝ｐ＝素数$というだけで、事情は変わってきます。問題をわかりやすく書き直してみましょう。

$ｘ^3+ｙ^3＝p^3･･･････････①$　（ただし$ｐ$は素数)　は、圧倒的に証明は易しくなります。
①が自然数解をもつとします。
$①$から、$(x+y)(x^2－xy＋ｙ^2)＝p^3･････････②$であって、$(x^2－xy＋ｙ^2－(x+y)＝(x-y)^2+xy－ｘ－ｙ=Z(x-y)^2+(x-1)(y-1)－1$で$x,y≧2$ですから、$x^2－xy＋ｙ^2＞ｘ+ｙ$がわかります。従って②式と$p$が素数$(p≧2)$であることから、$x^2－xy＋ｙ^2=p^2かつx+y=ｐ$
これから、$xy=0$となり、$x,y$が自然数であることに矛盾します。従って、①は自然数解をもちません。あっという間に証明できてしまいました。でも特殊な場合とはいえあのフェルマーを証明できたんだと言うことは、自信になるかもしれません。

（２）$ｘ^3+ｙ^3＝ｚ^3････････③$は自然数解を持たないことの証明。（Euler)

次は、$n=3$とはいえ難問です。代数的整数論の世界に入っていきます。
やはり、背理法を使うことになります。前半は初等的ですが、後半はかなり難しくなります。

③に$xyz≠0$の自然数解が存在すると仮定し、$\vert z \vert$は最小だとします。$x，y$に公約数$d$があれば、③の両辺を$d^3$で割ればよいから、$x,y$は互いに素とできます。そこで、$x,y,z$のどれか1つが偶数であることがわかります。また、$x,y$は奇数、$z$は偶数としてよいことになります。ここで、$p=(x+y)/2，　q=(x-y)/2$とおくと、$p,q$は整数で、$x=p+q，　y=p-q････････④$です。$p,q$のどちらかが偶数で他は奇数です。④を③に代入すると、$2p(p^2+3ｑ^2)＝ｚ^3$･････････⑤　が得られます。
そこで、（ⅰ）$2p$と$p^2+3ｑ^2$が互いに素　の場合と（ⅱ)1以外の公約数をもつ　場合　に分かれます。

（ⅰ）の場合を考えてみます。（ⅱ）もほとんど同様に論理展開することができます。
⑤より、$p^2+3ｑ^2＝３乗数･･･････････⑥$、かつ　$2p＝３乗数･･･････････⑦$
⑥を実数の範囲で因数分解すると、$(ｐ+\sqrt{-3}･q)(ｐ－\sqrt{-3}･q）＝３乗数･････････⑧$

ここで、$m,n$を整数として、$m＋n･\sqrt{-3}$と表される複素数の集合を、$\mathbb{ Z[\sqrt{-3}]}$ とすると、$α、β、γ \in \mathbb{ Z[\sqrt{-3}]}$　について、$α＝βγ$が成り立ち、$α≠±1$で$β$か$γ$を割り切るとき、素数と同じ扱いをする事ができます。このような新たな代数的数を取り扱うことにより、精密な議論のもと、
$ｐ+\sqrt{-3}･q＝(a+\sqrt{-3}･ｂ)^3$　　$a,b$は整数･････････⑨　と書けることがわかります。
⑨から、普通の複素数の実部、虚部を考えて、
$p=a(a+3b)(a-3b)$　また、⑦から、$2a(a+3b)(a-3b)＝３乗数$　となります。この３つの因数は、互いに素であることが示せますから、それぞれ3乗数であることがわかりますから、$a+3b＝X^3,a-3b＝Y^3、2a＝Z^3$とおくと、$X^3+Y^3＝Z^3$となります。これは、③式と同じ形ですが、あきらかに、$0＜\vert Z \vert＜\vert z \vert$です。この結果は、③に解が存在すれば、さらに小さい解が存在することを示して矛盾します。従って背理法により③は、自然数解は持ちません。（Q.E.D.)

ここで用いた論法は、フェルマーが考えた無限降下法と言われています。フェルマーは、$n=4$の場合を、無限降下法で証明したであろうと、現在では考えられています。